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L'essentiel en 30 secondes

Un polynôme du second degré c'est $ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$ . Tout repose sur le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ : s'il est positif, deux racines ; s'il est nul, une racine double ; s'il est négatif, pas de racine réelle. Tu dois savoir factoriser, résoudre et lire le signe selon le signe de $a$ .

Notions clés

Forme canonique: Écriture $a(x - \alpha )^2 + \beta$ où $\alpha = -b/(2a)$ est l'abscisse du sommet et $\beta = f(\alpha )$ est l'extremum.
Discriminant: Nombre $\Delta = b^2 - 4ac$ qui détermine le nombre de racines réelles du trinôme.
Racines: Solutions de $ax^2 + bx + c = 0$ . Si $\Delta > 0$ : $x_1 = (-b - \sqrt\Delta )/(2a)$ et $x_2 = (-b + \sqrt\Delta )/(2a)$ . Si $\Delta = 0$ : $x_0 = -b/(2a)$ .
Forme factorisée: Si $\Delta \geq 0$ , on écrit $a(x - x_1)(x - x_2)$ (ou $a(x - x_0)^2$ si racine double).
Somme et produit des racines: $x_1 + x_2 = -b/a$ et $x_1 \times x_2 = c/a$ .

Formules

Discriminant

\Delta = b^2 - 4ac

Racines (Δ > 0)

x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \quad ; \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}

Condition : \Delta > 0

Racine double (Δ = 0)

x_0 = \frac{-b}{2a}

Condition : \Delta = 0

Forme canonique

f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a}

Sommet de la parabole

S\left(-\frac{b}{2a}\,; f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)

A retenir

Le signe du trinôme est le signe de a SAUF entre les racines (quand elles existent).
La parabole est tournée vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0.
Pour factoriser, il FAUT d'abord calculer $\Delta$ . Pas de $\Delta$ , pas de factorisation.

Erreurs classiques

Erreur : Oublier le coefficient $a$ devant la forme factorisée : écrire $(x - x_1)(x - x_2)$ au lieu de $a(x - x_1)(x - x_2)$ .

Correction : La forme factorisée est TOUJOURS $a(x - x_1)(x - x_2)$ . Le $a$ ne disparaît jamais.

Erreur : Se tromper de signe dans les racines : écrire $(-b + \sqrt\Delta )/2a$ avec un mauvais signe.

Correction : Pose $\Delta$ d'abord, calcule $\sqrt\Delta$ , puis applique la formule mécaniquement. Vérifie en remplaçant dans l'équation.

Erreur : Confondre $« \Delta < 0$ donc pas de racine $»$ et $« \Delta < 0$ donc pas de signe $»$ .

Correction : $\Delta < 0$ signifie pas de racine réelle, mais le trinôme $a$ bien un signe : celui de $a$ , partout.

Astuce méthode