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L'essentiel en 30 secondes

Ce chapitre regroupe les automatismes de calcul : règles de puissances, racines carrées et manipulation d'expressions algébriques. Tu dois savoir simplifier des expressions avec des puissances (positives et négatives), calculer avec des racines carrées, et développer/factoriser des expressions simples. Ce sont des outils de base réutilisés partout.

Notions clés

Puissance entière: $a^n = a \times a \times … \times a (n$ fois). Par convention, $a⁰ = 1$ (pour $a \neq 0)$ et $a^(-n) = 1/aⁿ$ .
Racine carrée: $\sqrta$ est le nombre positif dont le carré vaut $a$ . Défini uniquement pour $a \geq 0$ .
Notation scientifique: Écriture d'un nombre sous la forme $a \times 10ⁿ$ avec $1 \leq a < 10$ et $n$ entier relatif.
Développer / Factoriser: Développer : transformer un produit en somme. Factoriser : transformer une somme en produit.

Formules

Produit de puissances (même base)

a^m \times a^n = a^{m+n}

Condition : a \neq 0

Quotient de puissances

\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}

Condition : a \neq 0

Puissance d'un produit

(a \times b)^n = a^n \times b^n

Racine carrée d'un produit

\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}

Condition : a \geq 0 \text{ et } b \geq 0

Identité remarquable (carré d'une somme)

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Identité remarquable (carré d'une différence)

(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

A retenir

$\sqrt(a^2) =$ |a| (valeur absolue), pas $a$ . Par exemple $\sqrt((-3)^2) = \sqrt9 = 3$ , pas $-3$ .
On ne peut PAS simplifier $\sqrt(a + b)$ en $\sqrta + \sqrtb$ . La racine d'une somme n'est pas la somme des racines.

Erreurs classiques

Erreur : Écrire $\sqrt(a + b) = \sqrta + \sqrtb$ .

Correction : FAUX. $\sqrt(9 + 16) = \sqrt25 = 5$ , mais $\sqrt9 + \sqrt16 = 3 + 4 = 7$ . La racine ne se distribue que sur les produits.

Erreur : Confondre $a^m \times a^n$ et $(a^m)^n$ .

Correction : $a^m \times a^n = a^(m+n)$ (on additionne les exposants), mais $(a^m)^n = a^(m\times n)$ (on multiplie les exposants).

Erreur : Oublier le double produit dans $(a + b)^2$ .

Correction : $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ , pas $a^2 + b^2$ . Le terme $2ab$ est souvent oublié.

Astuce méthode