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L'essentiel en 30 secondes

Une suite c'est une fonction de $ℕ$ dans $ℝ$ . Les deux types fondamentaux : arithmétique (on ajoute toujours la même chose) et géométrique (on multiplie toujours par la même chose). Tu dois savoir calculer le terme général et la somme des termes. Pour les variations, compare $uₙ₊_1$ et $uₙ$ ou étudie le signe de $uₙ₊_1 - uₙ$ .

Notions clés

Suite arithmétique: Suite telle que $uₙ₊_1 = uₙ + r$ pour tout $n$ , où $r$ est la raison. On ajoute $r à$ chaque étape.
Suite géométrique: Suite telle que $uₙ₊_1 = q \times uₙ$ pour tout $n$ , où $q$ est la raison. On multiplie par $q à$ chaque étape.
Suite croissante / décroissante: Croissante si $uₙ₊_1 \geq uₙ$ pour tout $n$ . Décroissante si $uₙ₊_1 \leq uₙ$ pour tout $n$ .
Suite majorée / minorée / bornée: Majorée s'il existe $M$ tel que $uₙ \leq M$ pour tout $n$ . Minorée s'il existe $m$ tel que $uₙ \geq m$ . Bornée si les deux.
Définition explicite vs par récurrence: Explicite : $uₙ = f(n)$ . Par récurrence : $uₙ₊_1 = f(uₙ)$ avec $u_0$ donné.

Formules

Terme général arithmétique

u_n = u_0 + n \, r

Condition : Ou u_n = u_p + (n-p)\,r

Terme général géométrique

u_n = u_0 \times q^n

Condition : Ou u_n = u_p \times q^{n-p}

Somme arithmétique

S = \text{nombre de termes} \times \frac{\text{premier} + \text{dernier}}{2}

Somme des n premiers entiers

1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}

Somme géométrique

u_0 + u_1 + \cdots + u_n = u_0 \times \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}

Condition : q \neq 1

Somme 1 + q + q² + … + qⁿ

\frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}

Condition : q \neq 1

A retenir

Pour la somme géométrique, l'exposant est le nombre de termes $(n+1$ si on part de $u_0$ jusqu'à $uₙ)$ , pas le dernier indice.
Pour montrer qu'une suite est arithmétique, calcule $uₙ₊_1 - uₙ$ et montre que c'est constant. Pour géométrique, calcule $uₙ₊_1/uₙ$ .
Méthode pour les variations : calcule $uₙ₊_1 - uₙ$ et étudie son signe.

Erreurs classiques

Erreur : Dans la somme géométrique, mettre $n$ en exposant au lieu de $n+1$ (oubli qu'il $y a n+1$ termes de $u_0 à uₙ)$ .

Correction : Compte les termes : de $u_0 à uₙ$ , il $y a n+1$ termes. L'exposant dans la formule est le nombre de termes.

Erreur : Confondre le rang et la valeur : écrire $« u_3 = 3 »$ alors qu'on veut dire $«$ le $3e$ terme $»$ .

Correction : $u_3$ est le terme de rang $3$ . Sa valeur dépend de $u_0$ et de la raison. Toujours revenir $à$ la formule.

Erreur : Oublier de vérifier $q \neq 1$ avant d'appliquer la formule de somme géométrique.

Correction : Si $q = 1$ , la somme est simplement $(n+1) \times u_0. Écris-le$ dans ta copie.

Astuce méthode