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Chapitre 1 — Ensembles de nombres et calculs

L'essentiel en 30 secondes

Les nombres s'organisent en ensembles emboîtés : $ℕ \subset ℤ \subset ℚ \subset ℝ$ . Les entiers naturels $(ℕ)$ sont inclus dans les relatifs $(ℤ), eux-mêmes$ dans les rationnels $(ℚ =$ fractions), $eux-mêmes$ dans les réels $(ℝ =$ tous les nombres sur la droite graduée). Un nombre est irrationnel s'il n'est pas une fraction $(ex$ : $\sqrt2, \pi )$ . Maîtrise les règles de calcul sur les fractions et les puissances, elles reviennent partout.

Notions clés

Entiers naturels ℕ: Nombres entiers positifs : 0, 1, 2, 3, …
Entiers relatifs ℤ: Entiers positifs et négatifs : …, −2, −1, 0, 1, 2, …
Nombres rationnels ℚ: Nombres qui s'écrivent sous forme de fraction \frac{a}{b} avec a \in \mathbb{Z} et b \in \mathbb{Z}^*
Nombres réels ℝ: Tous les nombres représentables sur une droite graduée (rationnels + irrationnels)
Nombre irrationnel: Nombre réel qui ne peut pas s'écrire sous forme de fraction. Exemples : \sqrt{2}, \pi

Formules

Produit de puissances (même base)

a^n \times a^m = a^{n+m}

Condition : a \neq 0 si n ou m négatif

Quotient de puissances (même base)

\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}

Condition : a \neq 0

Puissance d'une puissance

(a^n)^m = a^{n \times m}

Puissance négative

a^{-n} = \frac{1}{a^n}

Condition : a \neq 0

Addition de fractions

\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}

Condition : b \neq 0,\; d \neq 0

Multiplication de fractions

\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}

Condition : b \neq 0,\; d \neq 0

A retenir

L'inclusion des ensembles : \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}
\sqrt{2} est irrationnel : on ne peut PAS l'écrire sous forme de fraction
a^0 = 1 pour tout a \neq 0

Erreurs classiques

Erreur : Écrire a^n \times a^m = a^{n \times m}

Correction : On ADDITIONNE les exposants : a^n \times a^m = a^{n+m}

Erreur : Additionner des fractions en additionnant numérateurs et dénominateurs : \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{2}{5}

Correction : Il faut un dénominateur commun : \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}

Erreur : Penser que \sqrt{4} est irrationnel

Correction : \sqrt{4} = 2 \in \mathbb{N} : une racine carrée peut être rationnelle si le nombre est un carré parfait

Astuce méthode

Pour savoir si un nombre est rationnel, essaie de l'écrire sous forme de fraction. Si son écriture décimale est finie ou périodique, il est rationnel.