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L'essentiel en 30 secondes

Une suite peut converger (tendre vers un réel $L)$ ou diverger (vers $\pm \infty$ ou sans limite). Pour démontrer une propriété pour tout $n$ , on utilise le raisonnement par récurrence. Retiens les limites des suites géométriques et les théorèmes de convergence (monotone bornée, gendarmes).

Notions clés

Suite convergente: La suite (u_n) converge vers L si u_n peut être rendu aussi proche de L qu'on veut pour n assez grand.
Raisonnement par récurrence: Pour prouver P(n) pour tout n \geqslant n_0 : 1) Initialisation (vérifier P(n_0)), 2) Hérédité (supposer P(n), montrer P(n+1)), 3) Conclure.
Suite monotone bornée: Toute suite croissante majorée converge. Toute suite décroissante minorée converge.
Suite arithmético-géométrique: Suite de la forme u_{n+1} = a u_n + b avec a \neq 1. On cherche le point fixe \ell = a\ell + b puis on pose v_n = u_n - \ell.

Formules

Limite de q^n

\lim_{n \to +\infty} q^n = \begin{cases} 0 & \text{si } |q| < 1 \\ 1 & \text{si } q = 1 \\ +\infty & \text{si } q > 1 \\ \text{pas de limite} & \text{si } q \leqslant -1 \end{cases}

Somme des termes d'une suite géométrique

\sum_{k=0}^{n} q^k = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}

Condition : q \neq 1

Somme des termes d'une suite arithmétique

\sum_{k=0}^{n} u_k = (n+1) \times \frac{u_0 + u_n}{2}

Point fixe (suite arithmético-géométrique)

u_{n+1} = au_n + b \implies \ell = \frac{b}{1-a}

Condition : a \neq 1

Théorème des gendarmes (suites)

\text{Si } v_n \leqslant u_n \leqslant w_n \text{ et } \lim v_n = \lim w_n = L \text{, alors } \lim u_n = L.

A retenir

Récurrence : 3 étapes obligatoires. Oublier l'initialisation = 0 point sur l'exercice.
Croissante + majorée ⟹ converge. C'est LE théorème pour les suites définies par récurrence.
Pour trouver la limite d'une suite récurrente u_{n+1} = f(u_n), résous \ell = f(\ell).

Erreurs classiques

Erreur : Écrire $«$ donc par récurrence, pour tout $n \geq 0, P(n)$ est vraie $»$ sans avoir fait l'initialisation

Correction : L'initialisation est indispensable. Sans elle, la récurrence ne démarre pas et la démonstration est fausse.

Erreur : Appliquer la somme géométrique avec la mauvaise formule

Correction : Attention : \sum_{k=0}^{n} q^k a (n+1) termes et le résultat est (1-q^{n+1})/(1-q), pas (1-q^n)/(1-q).

Erreur : Dire « la suite converge car elle est croissante »

Correction : Croissante ne suffit pas ! Il faut aussi qu'elle soit majorée pour garantir la convergence.

Astuce méthode