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Chapitre 4 — Primitives et intégrales

L'essentiel en 30 secondes

Primitiver, c'est l'opération inverse de dériver. L'intégrale \int_a^b f(x)\,dx calcule l'aire algébrique sous la courbe de f entre a et b. Le lien entre les deux : si F est une primitive de f, alors \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a). Retiens le tableau des primitives et la méthode d'intégration par parties.

Notions clés

Primitive
F est une primitive de f sur I si F'(x) = f(x) pour tout x \in I. Deux primitives diffèrent d'une constante.
Intégrale d'une fonction continue
Si f est continue sur [a\,;b], \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) où F est une primitive quelconque de f.
Valeur moyenne
La valeur moyenne de f sur [a\,;b] est \mu = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.
Intégration par parties (IPP)
\int_a^b u'(x)v(x)\,dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u(x)v'(x)\,dx.

Formules

Primitives de référence

xn→xn+1n+1(n≠−1)1x→ln⁡∣x∣ex→excos⁡x→sin⁡xsin⁡x→−cos⁡x\begin{aligned} &x^n \to \frac{x^{n+1}}{n+1} \quad (n \neq -1) \\ &\frac{1}{x} \to \ln|x| \\ &e^x \to e^x \\ &\cos x \to \sin x \\ &\sin x \to -\cos x \end{aligned}

Primitive de u'/u

∫u′(x)u(x) dx=ln⁡∣u(x)∣+C\int \frac{u'(x)}{u(x)}\,dx = \ln|u(x)| + C

Condition : u(x) \neq 0

Primitive de u' e^u

∫u′(x) eu(x) dx=eu(x)+C\int u'(x)\,e^{u(x)}\,dx = e^{u(x)} + C

Formule de l'IPP

∫abu′v=[uv]ab−∫abuv′\int_a^b u'v = \bigl[uv\bigr]_a^b - \int_a^b uv'

Condition : u et v de classe C^1 sur [a\,;b]

Linéarité de l'intégrale

∫ab(αf+βg)=α∫abf+β∫abg\int_a^b (\alpha f + \beta g) = \alpha \int_a^b f + \beta \int_a^b g

Relation de Chasles

∫abf+∫bcf=∫acf\int_a^b f + \int_b^c f = \int_a^c f

A retenir

  • Toujours ajouter la constante C quand tu cherches UNE primitive (sans bornes).
  • Aire == intégrale seulement si f≥0f \geq 0. Si ff change de signe, il faut découper l'intervalle et prendre les valeurs absolues.
  • Pour reconnaître une forme u'f(u), identifie d'abord u et vérifie que u' est bien en facteur.

Erreurs classiques

Erreur : Oublier la constante +C dans le calcul de primitive

Correction : Une primitive sans constante perd 1 point au bac. F(x) + C, toujours.

Erreur : Confondre intégrale et aire quand f est négative

Correction : Si f < 0 sur [a;b], l'intégrale est négative. L'aire est \int_a^b |f(x)|\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx.

Erreur : Dans l'IPP, mal choisir u' et v

Correction : Règle LIPET (Logarithme, Inverse, Polynôme, Exponentielle, Trigo) : le premier de la liste est v, le second est u'.

Astuce méthode

Devant une intégrale, pose−toipose-toi toujours la question : «est−ce« est-ce que je reconnais la forme u′×f(u)u' \times f(u) ? »». Si oui, c'est une primitive directe. Sinon, tente l'IPP. Au bac, 8080 % des intégrales relèvent de l'un de ces deux cas.