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L'essentiel en 30 secondes

La dérivée $f'(a)$ donne le coefficient directeur de la tangente $à$ la courbe au point d'abscisse $a$ . Tu dois connaître par cœur les dérivées usuelles et les opérations (somme, produit, quotient). La dérivée sert surtout $à$ étudier les variations : $f' > 0 \Rightarrow f$ croissante, $f' < 0 \Rightarrow f$ décroissante.

Notions clés

Nombre dérivé: $f'(a) =$ lim $(h\to 0) [f(a+h) - f(a)] / h$ . C'est le coefficient directeur de la tangente en $a$ .
Fonction dérivée: La fonction x ↦ f'(x) qui à chaque x associe le nombre dérivé en x.
Tangente: Droite d'équation y = f'(a)(x − a) + f(a) au point d'abscisse a.
Lien dérivée-variations: Sur un intervalle : $f' > 0 \Rightarrow f$ strictement croissante ; $f' < 0 \Rightarrow f$ strictement décroissante.

Formules

Dérivée de xⁿ

(x^n)' = n\,x^{n-1}

Condition : n \in \mathbb{Z}

Dérivée de √x

(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}

Condition : x > 0

Dérivée de 1/x

\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}

Condition : x \neq 0

Somme

(u + v)' = u' + v'

Produit

(uv)' = u'v + uv'

Quotient

\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

Condition : v \neq 0

Constante × fonction

(k \cdot u)' = k \cdot u'

Équation de la tangente

y = f'(a)(x - a) + f(a)

A retenir

La tangente est LA droite qui « colle » le mieux à la courbe localement. Son équation : y = f'(a)(x − a) + f(a).
$f'$ s'annule et change de signe $\Rightarrow$ extremum local de $f$ .
La formule du quotient a un MOINS au numérateur : u'v − uv'. L'ordre compte.

Erreurs classiques

Erreur : Dériver $1/x$ en $1/x^2$ au lieu de $-1/x^2$ (oubli du signe moins).

Correction : Retiens : $(x⁻¹)' = -x⁻^2 = -1/x^2$ . Le signe moins est systématique.

Erreur : Dans la formule du quotient, inverser l'ordre : écrire uv' − u'v au lieu de u'v − uv'.

Correction : Moyen mnémotechnique : « u'v moins uv' » — celui qui est dérivé est toujours en premier dans chaque terme.

Erreur : Oublier que f' = 0 ne suffit pas pour un extremum : il faut aussi un changement de signe.

Correction : $f'(a) = 0$ sans changement de signe $=$ point d'inflexion $(ex$ : $x^3$ en $0)$ . Toujours faire le tableau de signes.

Astuce méthode