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Mathématiques · terminale speGratuit

Chapitre 2 — Compléments sur la dérivation

L'essentiel en 30 secondes

Tu connais déjà les dérivées de base : ici tu ajoutes la dérivée de la composée et les dérivées de e^u, \ln u, \sqrt{u}. La dérivation sert surtout à étudier les variations d'une fonction. Retiens la formule (f \circ g)' = g' \times f'(g) et les dérivées de e^u et \ln u.

Notions clés

Composition de fonctions
Si u est dérivable et f est dérivable, alors f \circ u : x \mapsto f(u(x)) est dérivable et (f \circ u)'(x) = u'(x) \times f'(u(x)).
Convexité
f est convexe sur I si f'' \geqslant 0 sur I (courbe « en forme de bol »). f est concave si f'' \leqslant 0 (courbe « en forme de cloche »).
Point d'inflexion
Point où la courbe change de convexité. En ce point, f''(x_0) = 0 et f'' change de signe.

Formules

Dérivée de e^{u}

(eu)′=u′ eu(e^{u})' = u' \, e^{u}

Condition : u dérivable sur I

Dérivée de \ln(u)

(ln⁡u)′=u′u(\ln u)' = \frac{u'}{u}

Condition : u dérivable et u > 0 sur I

Dérivée de \sqrt{u}

(u)′=u′2u(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}

Condition : u dérivable et u > 0 sur I

Dérivée de u^n

(un)′=n u′ un−1(u^n)' = n \, u' \, u^{n-1}

Condition : u dérivable, n \in \mathbb{Z}

Tangente en un point

y=f′(a)(x−a)+f(a)y = f'(a)(x - a) + f(a)

Lien convexité et dérivée seconde

f convexe sur I  ⟺  f′′⩾0 sur If \text{ convexe sur } I \iff f'' \geqslant 0 \text{ sur } I

Condition : f deux fois dérivable sur I

A retenir

  • La formule de la composée : on dérive « l'extérieur » puis on MULTIPLIE par la dérivée de « l'intérieur » (u').
  • Convexe == f'' ≥0=\geq 0 = la tangente est EN DESSOUS de la courbe. Concave == l'inverse.

Erreurs classiques

Erreur : Oublier le facteur u' dans la dérivée d'une composée

Correction : Toujours identifier u(x), calculer u'(x), puis multiplier. Ex : (e^{3x})' = 3e^{3x}, pas e^{3x}.

Erreur : Confondre convexe et concave

Correction : Moyen mnémotechnique : ConVexe == en VV (creux vers le haut), ConCave == en ∩\cap (creux vers le bas).

Astuce méthode

Quand tu dérives une fonction composée, écris TOUJOURS u(x) et u'(x) sur le brouillon avant de te lancer. Ça évite 90 % des erreurs de calcul au bac.