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L'essentiel en 30 secondes

Une variable aléatoire $X$ associe un nombre $à$ chaque issue d'une expérience aléatoire. Sa loi de probabilité donne les probabilités de chaque valeur. L'espérance $E(X)$ c'est la $«$ moyenne théorique $»$ , la variance $V(X)$ mesure la dispersion, et $l'écart-type \sigma (X) = \sqrtV(X)$ . En Première, tu travailles surtout avec la loi binomiale.

Notions clés

Variable aléatoire: Fonction qui associe un nombre réel à chaque issue de l'expérience aléatoire.
Loi de probabilité: Tableau donnant chaque valeur prise par X et sa probabilité. La somme des probabilités vaut 1.
Espérance: $E(X) = Σ xᵢ P(X = xᵢ)$ . C'est la valeur moyenne attendue sur un grand nombre de répétitions.
Variance et écart-type: $V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = Σ xᵢ^2 P(X = xᵢ) - [E(X)]^2. \sigma (X) = \sqrtV(X)$ .
Épreuve de Bernoulli: Expérience à deux issues : succès (probabilité p) et échec (probabilité 1 − p).
Loi binomiale B(n, p): X suit B(n, p) si X compte le nombre de succès dans n épreuves de Bernoulli indépendantes de même paramètre p.

Formules

Espérance

E(X) = \sum_{i} x_i \, P(X = x_i)

Variance

V(X) = \sum_{i} x_i^2 \, P(X = x_i) - [E(X)]^2

Condition : \text{Formule de König-Huygens}

Écart-type

\sigma(X) = \sqrt{V(X)}

Loi binomiale P(X = k)

P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k \, (1-p)^{n-k}

Condition : X \sim \mathcal{B}(n\,,p)\,,\; k \in \{0,1,\ldots,n\}

Coefficients binomiaux

\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

Espérance de B(n, p)

E(X) = np

Condition : X \sim \mathcal{B}(n\,,p)

Variance de B(n, p)

V(X) = np(1-p)

Condition : X \sim \mathcal{B}(n\,,p)

Linéarité de l'espérance

E(aX + b) = a\,E(X) + b

Variance d'une transformation affine

V(aX + b) = a^2 \, V(X)

A retenir

Pour reconnaître une loi binomiale : répétition de n épreuves identiques et indépendantes, chacune avec deux issues (succès/échec), et on compte le nombre de succès.
E(X) = np est la formule express pour l'espérance d'une binomiale. Pas besoin de tout recalculer.
$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ est plus rapide que la formule avec les $(xᵢ - E(X))^2$ .

Erreurs classiques

Erreur : Oublier le coefficient binomial dans P(X = k) et écrire seulement p^k(1−p)^(n−k).

Correction : Le coefficient binomial C(n,k) compte le nombre de façons de placer les k succès parmi n épreuves. Il est indispensable.

Erreur : Confondre variance et $écart-type$ : donner $V(X)$ quand on demande $\sigma (X)$ .

Correction : $\sigma (X) = \sqrtV(X). L'écart-type$ est la racine carrée de la variance. Lis bien l'énoncé.

Erreur : Appliquer la loi binomiale sans vérifier l'indépendance des épreuves.

Correction : Si les épreuves ne sont pas indépendantes (tirage sans remise par ex.), ce n'est PAS une loi binomiale. Vérifie toujours les hypothèses.

Astuce méthode