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Chapitre 3 — Fonction logarithme népérien

L'essentiel en 30 secondes

La fonction \ln est la réciproque de l'exponentielle : \ln(e^x) = x et e^{\ln x} = x. Elle est définie sur ]0\,;+\infty[, strictement croissante, et transforme les produits en sommes. Ses croissances comparées face aux puissances sont un classique du bac.

Notions clés

Définition de ln
Pour tout x > 0, \ln x est l'unique réel y tel que e^y = x. Autrement dit, \ln = \exp^{-1}.
Propriétés algébriques
\ln transforme les produits en sommes, les quotients en différences, les puissances en produits.
Croissances comparées (ln vs puissances)
En +∞+\infty, toute puissance xnx^n l'emporte sur \ln xx. En 0+0^+, |\ln x∣x| l'emporte sur toute puissance 1/xn→01/x^n \to 0.

Formules

Propriétés fondamentales

ln⁡1=0;ln⁡e=1;ln⁡(en)=n\ln 1 = 0 \quad ; \quad \ln e = 1 \quad ; \quad \ln(e^n) = n

Logarithme d'un produit

ln⁡(ab)=ln⁡a+ln⁡b\ln(ab) = \ln a + \ln b

Condition : a > 0,\; b > 0

Logarithme d'un quotient

ln⁡ ⁣(ab)=ln⁡a−ln⁡b\ln\!\left(\frac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b

Condition : a > 0,\; b > 0

Logarithme d'une puissance

ln⁡(an)=nln⁡a\ln(a^n) = n \ln a

Condition : a > 0,\; n \in \mathbb{Z}

Dérivée de ln

(ln⁡x)′=1x(\ln x)' = \frac{1}{x}

Condition : x > 0

Croissances comparées

lim⁡x→+∞ln⁡xx=0;lim⁡x→0+xln⁡x=0\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0 \quad ; \quad \lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0

Résolution d'équation/inéquation

ln⁡a=ln⁡b  ⟺  a=b;ln⁡a<ln⁡b  ⟺  a<b\ln a = \ln b \iff a = b \quad ; \quad \ln a < \ln b \iff a < b

Condition : a > 0,\; b > 0

A retenir

  • ln n'est défini que pour x STRICTEMENT positif. Penser à vérifier le domaine de définition.
  • Équation ln : toujours vérifier que les arguments sont > 0 APRÈS résolution.
  • Croissances comparées : xnx^n l'emporte sur lnxln x en +∞+\infty (la puissance gagne toujours).

Erreurs classiques

Erreur : Écrire ln(a + b) = ln a + ln b

Correction : FAUX. La propriété est ln(a×b)=lna+lnbln(a \times b) = ln a + ln b. Il n'y aa AUCUNE formule simple pour ln(a+b)ln(a + b).

Erreur : Oublier de vérifier que l'argument du ln est strictement positif

Correction : Avant toute résolution de ln(f(x)) = k, déterminer le domaine où f(x) > 0, puis vérifier les solutions trouvées.

Erreur : Confondre ln(x2)ln(x^2) et (lnx)2(ln x)^2

Correction : ln(x2)=2ln(x^2) = 2 ln|x| (propriété de la puissance), tandis que (lnx)2(ln x)^2 est le carré de lnxln x.

Astuce méthode

Pour résoudre une équation avec des ln, ramène tout au même membre pour obtenir la forme ln A = ln B, puis conclus A = B. N'oublie JAMAIS la vérification des conditions d'existence (arguments > 0).