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Chapitre 2 — Statistiques

L'essentiel en 30 secondes

En statistiques, tu résumes une série par des indicateurs : la moyenne (valeur centrale), la médiane (valeur qui partage la série en deux moitiés égales) et l'écart-type (qui mesure la dispersion). Plus l'écart-type est grand, plus les valeurs sont étalées autour de la moyenne. Savoir lire un diagramme en boîte te donne en un coup d'œil médiane, quartiles et étendue.

Notions clés

Moyenne pondérée: Somme des (valeur $\times$ effectif) divisée par l'effectif total.
Médiane: Valeur qui partage la série ordonnée en deux groupes de même effectif : 50 % en dessous, 50 % au-dessus.
Quartiles Q₁ et Q₃: $Q_1$ : au moins $25 %$ des valeurs sont $\leq Q_1. Q_3$ : au moins $75 %$ des valeurs sont $\leq Q_3$ .
Écart-type: Racine carrée de la variance. Mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne : plus il est élevé, plus les valeurs sont dispersées.
Diagramme en boîte (box-plot): Représentation graphique résumant min, $Q_1$ , médiane, $Q_3$ et max d'une série.

Formules

Moyenne pondérée

\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{p} n_i \, x_i}{\sum_{i=1}^{p} n_i}

Condition : n_i = effectif de la valeur x_i

Variance

V = \frac{\sum_{i=1}^{p} n_i \,(x_i - \bar{x})^2}{\sum_{i=1}^{p} n_i}

Écart-type

\sigma = \sqrt{V}

Étendue

e = x_{\max} - x_{\min}

Écart interquartile

IQ = Q_3 - Q_1

Condition : Contient 50 % des valeurs centrales

A retenir

La médiane est plus robuste que la moyenne : elle n'est pas affectée par les valeurs extrêmes (ex : salaires).
Deux séries peuvent avoir la même moyenne mais des écart-types très différents : toujours regarder la dispersion.

Erreurs classiques

Erreur : Oublier de pondérer par les effectifs lors du calcul de la moyenne.

Correction : Chaque valeur doit être multipliée par son effectif (ou sa fréquence) avant de sommer.

Erreur : Confondre médiane et moyenne.

Correction : La moyenne est un calcul ; la médiane est un rang. Elles peuvent être très différentes.

Erreur : Lire l'écart-type sur un diagramme en boîte.

Correction : Le diagramme en boîte montre médiane, quartiles et étendue, mais PAS l'écart-type.

Astuce méthode

Pour comparer deux séries, compare d'abord leurs moyennes (ou médianes), puis leurs écart-types. En DS, justifie toujours tes réponses en citant les indicateurs.