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Mathématiques · terminale spe

Chapitre 6 — Géométrie dans l'espace

L'essentiel en 30 secondes

En terminale, tu travailles dans un repère orthonormé de l'espace avec des vecteurs à 3 coordonnées. Tu dois savoir : représenter droites et plans par des équations, calculer des produits scalaires, déterminer si des droites/plans sont parallèles ou orthogonaux, et calculer des distances.

Notions clés

Vecteur normal à un plan
Un vecteur \vec{n} est normal au plan P si il est orthogonal à tout vecteur de P. L'équation du plan est alors ax + by + cz + d = 0 avec \vec{n}(a\,;b\,;c).
Représentation paramétrique d'une droite
Une droite passant par A(x_A;y_A;z_A) de vecteur directeur \vec{u}(a;b;c) s'écrit : \begin{cases} x = x_A + at \\ y = y_A + bt \\ z = z_A + ct \end{cases}, \; t \in \mathbb{R}.
Produit scalaire dans l'espace
\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz' = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\vec{u},\vec{v}).
Orthogonalité
Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul : \vec{u} \cdot \vec{v} = 0.
Projeté orthogonal
Le projeté orthogonal de M sur un plan P est le point H de P tel que \overrightarrow{MH} est normal à P. C'est le point de P le plus proche de M.

Formules

Distance entre deux points

AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2+(zB−zA)2AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}

Produit scalaire (coordonnées)

u⃗⋅v⃗=xx′+yy′+zz′\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz'

Condition : \vec{u}(x;y;z), \; \vec{v}(x';y';z')

Norme d'un vecteur

∥u⃗∥=x2+y2+z2\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}

Équation cartésienne d'un plan

ax+by+cz+d=0ax + by + cz + d = 0

Condition : \vec{n}(a;b;c) vecteur normal

Distance d'un point à un plan

d(M,P)=∣axM+byM+czM+d∣a2+b2+c2d(M, P) = \frac{|ax_M + by_M + cz_M + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}

Condition : P : ax + by + cz + d = 0

A retenir

  • L'équation ax + by + cz + d = 0 donne DIRECTEMENT le vecteur normal : \vec{n}(a;b;c). C'est la clé de la plupart des exercices.
  • Pour trouver d dans l'équation du plan, injecter les coordonnées d'un point connu du plan.
  • Droite ⊥ plan ⟺ le vecteur directeur de la droite est colinéaire au vecteur normal du plan.

Erreurs classiques

Erreur : Confondre vecteur directeur de la droite et vecteur normal du plan

Correction : Le vecteur directeur donne la DIRECTION de la droite. Le vecteur normal est PERPENDICULAIRE au plan. Droite ⊥ plan ⟺ \vec{u}_{\text{droite}} // \vec{n}_{\text{plan}}.

Erreur : Oublier la valeur absolue dans la formule de distance point-plan

Correction : La distance est toujours positive. N'oublie pas les | | au numérateur.

Erreur : Dire que deux droites non parallèles sont sécantes

Correction : Dans l'espace (contrairement au plan), deux droites non parallèles peuvent être non coplanaires, donc ni parallèles ni sécantes.

Astuce méthode

Au bac, commence TOUJOURS par identifier ce que tu connais : un point ++ un vecteur normal →\to équation du plan ; un point ++ un vecteur directeur →\to représentation paramétrique de la droite. Ensuite, le produit scalaire fait tout le reste.