Physique-Chimie · terminale spe

Chapitre 6 — Lois de Newton et mouvement dans un champ de gravitation

L'essentiel en 30 secondes

La loi de gravitation universelle décrit l'attraction entre deux masses. Pour un satellite ou une planète, la seule force est la gravitation. Si le mouvement est circulaire, l'accélération est centripète : on en déduit la vitesse orbitale et la période (3e loi de Kepler). Les lois de Kepler décrivent les orbites : ellipses, loi des aires, loi des périodes.

Notions clés

Force de gravitation universelle: Force d'attraction entre deux masses, proportionnelle au produit des masses et inversement proportionnelle au carré de la distance.
Satellite géostationnaire: Satellite en orbite circulaire dans le plan équatorial, de période T = 24 h, qui paraît immobile vu depuis la Terre.
3e loi de Kepler: Le rapport $T^2/a^3$ est constant pour tous les objets en orbite autour d'un même astre $(a = demi-grand$ axe).
Mouvement circulaire uniforme: Mouvement sur un cercle à vitesse constante. L'accélération est centripète (dirigée vers le centre).

Formules

Force de gravitation universelle

F = G \, \dfrac{m_A \, m_B}{d^2}

Condition : $G ≈ 6{,}674 \times 10⁻¹¹ N·m^2·kg⁻^2$ ; $d =$ distance entre les centres des masses

Champ de gravitation

g = \dfrac{G \, M}{r^2}

Condition : $g$ en $m\cdots⁻^2$ (ou N·kg⁻¹) ; $r =$ distance au centre de l'astre de masse $M$

Vitesse orbitale (orbite circulaire)

v = \sqrt{\dfrac{G \, M}{r}}

Condition : r = rayon de l'orbite ; M = masse de l'astre central

3e loi de Kepler (orbite circulaire)

\dfrac{T^2}{r^3} = \dfrac{4 \pi^2}{G \, M}

Condition : T = période de révolution ; r = rayon orbital ; M = masse de l'astre central

Accélération centripète

a = \dfrac{v^2}{r}

Condition : Pour un mouvement circulaire uniforme ; a dirigée vers le centre

A retenir

Pour un mouvement circulaire uniforme d'un satellite : la seule force est la gravitation, dirigée vers le centre $\to$ l'accélération est centripète.
Plus un satellite est haut, plus il va lentement et plus sa période est grande (v diminue quand r augmente).
La 3e loi de Kepler permet de retrouver la masse de l'astre central si on connaît T et r.

Erreurs classiques

Erreur : Confondre r (distance au centre de l'astre) et h (altitude par rapport à la surface).

Correction : r = R + h, où R est le rayon de l'astre. N'oublie jamais d'ajouter R quand on te donne l'altitude.

Erreur : Oublier que la 3e loi de Kepler n'est valable que pour des objets orbitant autour du MÊME astre.

Correction : On ne peut pas comparer $T^2/r^3$ d'un satellite de la Terre avec celui d'une planète du Soleil.

Erreur : Dire qu'un satellite géostationnaire n'est soumis à aucune force.

Correction : Il est soumis à la gravitation ! C'est justement cette force qui le maintient en orbite circulaire.

Astuce méthode

Pour retrouver $v$ ou $T$ d'un satellite, la méthode est toujours la même : applique le PFD $(F =$ ma), remplace $F$ par $G·M·m/r^2$ et $a$ par $v^2/r$ (circulaire uniforme), simplifie par $m$ . Tu obtiens $v^2 = GM/r$ , d'où tout découle.