Mathématiques · seconde
Chapitre 7 — Droites et systèmes d'équations
L'essentiel en 30 secondes
Toute droite du plan a une équation cartésienne ax + by + c = 0 ou une équation réduite y = mx + p (si elle n'est pas verticale). Le coefficient m est la pente (coefficient directeur), p est l'ordonnée à l'origine. Deux droites parallèles ont le même coefficient directeur. Un système de deux équations à deux inconnues se résout par substitution ou combinaison, et correspond graphiquement à l'intersection de deux droites.
Notions clés
- Équation réduite d'une droite
- y = mx + p, où m est le coefficient directeur et p l'ordonnée à l'origine
- Coefficient directeur
- m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} pour deux points A et B de la droite (x_A \neq x_B)
- Droites parallèles
- Deux droites non verticales sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur
- Système d'équations
- Ensemble de deux équations à deux inconnues (x,y). Résoudre = trouver le couple (x,y) vérifiant les deux
Formules
Coefficient directeur entre deux points
Condition : x_A \neq x_B
Équation cartésienne d'une droite
Condition : a \text{ et } b \text{ non tous les deux nuls}
Parallélisme
Condition : Pour des droites non verticales
Droite verticale
Condition : Pas de coefficient directeur (pente "infinie")
A retenir
- Une droite verticale x = k n'a PAS de coefficient directeur et ne s'écrit PAS sous forme y = mx + p
- Le système a une unique solution ⟺ les droites sont sécantes ⟺ m_1 \neq m_2
- Toujours vérifier la solution trouvée en la replaçant dans les DEUX équations
Erreurs classiques
Erreur : Inverser numérateur et dénominateur dans le calcul de m : écrire m = \frac{x_B - x_A}{y_B - y_A}
Correction : m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}. Le y est en haut, le x en bas.
Erreur : Oublier de reporter la valeur trouvée dans l'AUTRE équation pour trouver la deuxième inconnue
Correction : Après avoir trouvé x par substitution, remplace dans l'équation que tu n'as PAS transformée pour trouver y.
Erreur : Conclure qu'un système n'a pas de solution quand on trouve 0 = 0
Correction : 0 = 0 signifie que les deux droites sont confondues : infinité de solutions. C'est 0 = k (k \neq 0) qui signifie aucune solution.
Astuce méthode
Avant de résoudre un système, regarde les coefficients. Si une inconnue a un coefficient 1 ou −1, pars sur la substitution. Sinon, la combinaison sera plus rapide.