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L'essentiel en 30 secondes

La probabilité conditionnelle $P_A(B)$ (ou $P(B|A))$ c'est la probabilité que $B$ se réalise SACHANT que $A$ est déjà réalisé. Formule : $P(B|A) = P(A\cap B)/P(A)$ . L'outil roi c'est l'arbre pondéré. La formule des probabilités totales permet de calculer $P(B)$ quand on connaît un système complet d'événements.

Notions clés

Probabilité conditionnelle: $P_A(B) = P(A \cap B) / P(A)$ , avec $P(A) > 0$ . C'est la probabilité de $B$ sachant que $A$ est réalisé.
Événements indépendants: $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ , ou de façon équivalente $P_A(B) = P(B)$ .
Arbre pondéré: Représentation où chaque branche porte une probabilité. Le produit le long d'un chemin donne P(intersection), la somme des feuilles d'un événement donne sa probabilité.
Partition (système complet): Événements $A_1, A_2, …, Aₙ$ incompatibles deux $à$ deux et dont la réunion est l'univers. $Ex$ : $A$ et son complémentaire.

Formules

Probabilité conditionnelle

P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}

Condition : P(A) > 0

Probabilité de l'intersection

P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)

Formule des probabilités totales

P(B) = P(A) \times P_A(B) + P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(B)

Condition : A \text{ et } \overline{A} \text{ forment une partition}

Probabilités totales (cas général)

P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i) \times P_{A_i}(B)

Condition : (A_1,\ldots,A_n) \text{ partition de } \Omega

Indépendance

A \text{ et } B \text{ indépendants} \iff P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

A retenir

Sur un arbre, on MULTIPLIE le long d'un chemin et on ADDITIONNE les chemins qui mènent au même résultat.
Indépendance $\neq$ incompatibilité. $A$ et $B$ incompatibles $\Rightarrow P(A\cap B) = 0$ , alors que $A$ et $B$ indépendants $\Rightarrow P(A\cap B) = P(A)\times P(B)$ .
La formule des probabilités totales est indispensable quand on te demande P(B) et que tu ne connais que des probabilités conditionnelles.

Erreurs classiques

Erreur : Confondre $P(A\cap B)$ et $P_A(B)$ : écrire directement $P(A\cap B) = P_A(B)$ .

Correction : $P(A\cap B) = P(A) \times P_A(B)$ . Il ne faut pas oublier de multiplier par $P(A)$ .

Erreur : Confondre indépendance et incompatibilité.

Correction : Incompatibles : $A$ et $B$ ne peuvent pas arriver en même temps $(P(A\cap B) = 0)$ . Indépendants : $A$ n'influence pas $B (P_A(B) = P(B))$ . C'est très différent.

Erreur : Appliquer la formule des probabilités totales avec les mauvais événements de la partition.

Correction : Vérifie que tes événements forment bien une partition de l'univers (incompatibles $+$ réunion $= \Omega )$ . Le plus souvent, c'est $A$ et son complémentaire.

Astuce méthode