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L'essentiel en 30 secondes

Le cercle trigonométrique $a$ pour rayon $1$ . Un angle en radians, c'est la longueur de l'arc. cos et sin sont les coordonnées du point sur le cercle. Formule fondamentale : $cos^2x + sin^2x = 1$ . Tu dois connaître les valeurs remarquables $(0, \pi /6, \pi /4, \pi /3, \pi /2)$ et savoir résoudre les équations trigo de base.

Notions clés

Radian: Unité d'angle : un tour complet $= 2\pi$ rad. $\pi$ rad $= 180°$ .
Cercle trigonométrique: Cercle de centre O et de rayon 1 muni d'un sens de parcours (sens direct = sens inverse des aiguilles d'une montre).
Cosinus et sinus: Pour un réel x, le point M du cercle trigo associé à x a pour coordonnées (cos x ; sin x).
Fonctions cos et sin: Périodiques de période $2\pi$ . cos est paire, sin est impaire.

Formules

Relation fondamentale

\cos^2 x + \sin^2 x = 1

Formules d'addition

\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b

Formules d'addition (sin)

\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b

Formules de duplication

\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a

Formules de duplication (sin)

\sin(2a) = 2\sin a \cos a

Résolution cos x = cos a

x = a + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -a + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})

Résolution sin x = sin a

x = a + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \pi - a + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})

A retenir

Retiens le tableau de valeurs remarquables par cœur. Moyen mnémotechnique : $\sqrt0/2, \sqrt1/2, \sqrt2/2, \sqrt3/2, \sqrt4/2$ pour sin de $0 à \pi /2$ .
cos $x =$ cos $a$ donne DEUX familles de solutions $(\pm a + 2k\pi )$ . N'en oublie pas une.
Toujours vérifier que tes solutions sont bien dans l'intervalle demandé.

Erreurs classiques

Erreur : Confondre $cos(\pi /3) = \sqrt3/2$ et $cos(\pi /6) = \sqrt3/2$ (inverser les valeurs de cos et sin).

Correction : Astuce : cos décroît de $0 à \pi /2$ , donc $cos(\pi /6) > cos(\pi /3)$ . Donc $cos(\pi /6) = \sqrt3/2$ et $cos(\pi /3) = 1/2$ .

Erreur : Oublier le $2k\pi$ dans les solutions des équations trigonométriques.

Correction : cos et sin sont périodiques de période $2\pi$ : il $y a$ toujours une infinité de solutions, espacées de $2\pi$ .

Erreur : Écrire cos(a+b) = cos a + cos b (traiter cos comme une fonction linéaire).

Correction : cos n'est PAS linéaire ! cos(a+b) = cos a cos b − sin a sin b. Utilise les formules d'addition.

Astuce méthode