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Chapitre 1 — Limites et continuité

L'essentiel en 30 secondes

Une fonction admet une limite en un point ou en l'infini : c'est la valeur vers laquelle elle « tend ». Tu dois savoir calculer des limites par opérations, lever les formes indéterminées, et utiliser le théorème des gendarmes. La continuité garantit que la fonction ne « saute » pas : elle est indispensable pour le TVI.

Notions clés

Limite finie en +∞: $f$ admet pour limite $L$ en $+\infty$ si $f(x)$ peut être rendu aussi proche de $L$ qu'on veut pour $x$ assez grand. On note $\lim_{x$ \to $+\infty} f(x) = L$ .
Limite infinie en un point: $f$ admet pour limite $+\infty$ en $a$ si $f(x)$ devient aussi grand qu'on veut quand $x$ se rapproche de $a$ . La droite $x = a$ est alors asymptote verticale.
Forme indéterminée (FI): Cas où les règles d'opérations sur les limites ne permettent pas de conclure directement. Les 4 FI au programme : +\infty - \infty, \frac{\infty}{\infty}, 0 \times \infty, \frac{0}{0}.
Continuité sur un intervalle: f est continue sur [a\,;b] si elle est continue en tout point de [a\,;b], c'est-à-dire si \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) pour tout x_0.
Théorème des valeurs intermédiaires (TVI): Si f est continue sur [a\,;b] et si k est compris entre f(a) et f(b), alors il existe au moins un c \in [a\,;b] tel que f(c) = k.
Corollaire du TVI (version strictement monotone): Si f est continue ET strictement monotone sur [a\,;b], et si k est compris entre f(a) et f(b), alors l'équation f(x) = k admet une UNIQUE solution sur [a\,;b].

Formules

Limites de référence

\lim_{x \to +\infty} x^n = +\infty \quad ; \quad \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^n} = 0 \quad ; \quad \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty

Condition : n \in \mathbb{N}^*

Croissances comparées (polynôme vs exponentielle)

\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty

Condition : Pour tout n \in \mathbb{N} : l'exponentielle l'emporte toujours sur le polynôme.

Théorème de comparaison (gendarmes)

\text{Si } g(x) \leqslant f(x) \leqslant h(x) \text{ et } \lim g = \lim h = L \text{, alors } \lim f = L.

Condition : Valable au voisinage du point ou de l'infini considéré.

A retenir

Asymptote horizontale $y = L ⟺$ la limite en $+\infty$ ou $-\infty$ vaut $L$ . Asymptote verticale $x = a ⟺$ la limite en $a$ vaut $\pm \infty$ .
Le TVI seul donne l'EXISTENCE d'une solution. Pour l'UNICITÉ, il faut ajouter la stricte monotonie.
En cas de FI avec des polynômes, TOUJOURS factoriser par le terme de plus haut degré.

Erreurs classiques

Erreur : Écrire $« +\infty - \infty = 0 »$ ou $« \infty /\infty = 1 »$

Correction : Ce sont des formes indéterminées : il faut lever l'indétermination par factorisation ou croissances comparées.

Erreur : Conclure unicité avec le TVI sans vérifier la monotonie stricte

Correction : Le TVI seul ne donne que l'existence. L'unicité nécessite que f soit strictement monotone sur l'intervalle.

Erreur : Oublier de préciser le signe quand la limite est infinie en un point

Correction : Toujours distinguer la limite à gauche et à droite : \lim_{x \to a^-} et \lim_{x \to a^+}.

Astuce méthode

Au bac, quand tu dois montrer qu'une équation $f(x) = 0 a$ une unique solution, fais toujours ces $3$ étapes dans l'ordre : $1) f$ est continue sur $I, 2) f$ est strictement monotone sur $I$ (utilise le signe de $f'), 3) f(a)$ et $f(b)$ sont de signes contraires $\to$ corollaire du TVI.