Mathématiques · seconde
Chapitre 4 — Notion de fonction
L'essentiel en 30 secondes
Une fonction associe à chaque nombre x de son ensemble de définition un unique nombre f(x). Tu dois savoir passer d'une représentation à une autre : formule, courbe, tableau de valeurs. Lire une courbe, c'est savoir déterminer des images, des antécédents, le sens de variation et les extremums. Un tableau de variations résume tout le comportement de la fonction.
Notions clés
- Fonction
- Relation qui à tout x d'un ensemble de départ associe un unique réel f(x)
- Image
- f(a) est l'image de a par f. Sur la courbe : on part de x = a et on lit y
- Antécédent
- a est un antécédent de b par f si f(a) = b. Un nombre peut avoir 0, 1 ou plusieurs antécédents
- Ensemble de définition
- Ensemble des valeurs de x pour lesquelles f(x) existe (noté D_f)
- Fonction croissante sur I
- Pour tous a, b dans I : si a \leqslant b alors f(a) \leqslant f(b)
- Fonction décroissante sur I
- Pour tous a, b dans I : si a \leqslant b alors f(a) \geqslant f(b)
Formules
Résoudre f(x) = k graphiquement
Maximum de f sur I
A retenir
- Image = unique (une seule valeur de y pour chaque x), mais un nombre peut avoir plusieurs antécédents
- Le tableau de variations est le résumé le plus complet du comportement d'une fonction
- f(x) = 0 ⟹ les antécédents de 0 sont les abscisses où la courbe coupe l'axe des x
Erreurs classiques
Erreur : Confondre image et antécédent
Correction : Image : on connaît x, on cherche y = f(x). Antécédent : on connaît y, on cherche x
Erreur : Dire qu'une fonction est croissante parce que f(3) > f(1), sans vérifier tout l'intervalle
Correction : Croissante sur I signifie que c'est vrai pour TOUS les couples (a,b) avec a \leqslant b dans I
Astuce méthode
Pour résoudre f(x) > g(x) graphiquement, repère les zones où la courbe de f est AU-DESSUS de celle de g. Les abscisses de ces zones forment l'ensemble solution.