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Chapitre 3 — Inéquations et intervalles

L'essentiel en 30 secondes

Une inéquation se résout comme une équation, SAUF quand tu multiplies ou divises par un nombre négatif : le sens de l'inégalité change. Les solutions se notent avec des intervalles. Un intervalle est un ensemble de nombres réels compris entre deux bornes. Un crochet tourné vers le nombre [ ou ] signifie que la borne est incluse ; tourné vers l'extérieur, elle est exclue.

Notions clés

Inéquation: Inégalité contenant une inconnue. Résoudre = trouver toutes les valeurs de l'inconnue qui la vérifient
Intervalle: Ensemble de tous les réels compris entre deux bornes. Notation : [a\,;b], ]a\,;b[, etc.
Réunion d'intervalles: Ensemble des réels appartenant à l'un OU l'autre intervalle. Notation : \cup
Intersection d'intervalles: Ensemble des réels appartenant à l'un ET l'autre intervalle. Notation : \cap

Formules

Règle du signe — multiplication/division par un négatif

\text{Si } a \leqslant b \text{ et } k < 0 \text{, alors } ka \geqslant kb

Condition : Uniquement quand on multiplie ou divise par un nombre strictement négatif

Intervalle fermé

[a\,;b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a \leqslant x \leqslant b\}

Intervalle ouvert

]a\,;b[ \,= \{x \in \mathbb{R} \mid a < x < b\}

Demi-droite

[a\,;+\infty[ \,= \{x \in \mathbb{R} \mid x \geqslant a\}

Condition : L'infini n'est jamais inclus : toujours un crochet ouvert vers \pm\infty

A retenir

Multiplier ou diviser par un négatif ⟹ on RETOURNE l'inégalité
L'infini $(+\infty$ ou $-\infty )$ n'est jamais une borne incluse
Pour résoudre une inéquation produit ou quotient, on utilise un tableau de signes

Erreurs classiques

Erreur : Oublier de changer le sens de l'inégalité en divisant par un négatif

Correction : Si tu divises par −2, le \leqslant devient \geqslant. Toujours.

Erreur : Écrire [3\,;+\infty] avec un crochet fermé sur +\infty

Correction : +\infty n'est pas un nombre, donc toujours un crochet ouvert : [3\,;+\infty[

Erreur : Confondre \cup (réunion = OU) et \cap (intersection = ET)

Correction : \cup = les deux ensembles réunis ; \cap = ce qu'ils ont en commun

Astuce méthode

Pour les inéquations produit/quotient, fais TOUJOURS un tableau de signes. C'est la méthode la plus fiable et celle attendue par le correcteur.