Mathématiques · seconde

Chapitre 8 — Statistiques et probabilités

L'essentiel en 30 secondes

En statistiques, tu décris une série par sa moyenne, sa médiane et son écart-type. La moyenne est le centre de gravité, la médiane partage la série en deux moitiés égales, et l'écart-type mesure la dispersion. En probabilités, une expérience aléatoire a des issues, des événements, et chaque événement a une probabilité comprise entre 0 et 1. La somme de toutes les probabilités vaut toujours 1.

Notions clés

Moyenne: \bar{x} = \frac{\text{somme des valeurs}}{\text{effectif total}} = \frac{\sum n_i x_i}{N}
Médiane: Valeur qui partage la série ordonnée en deux groupes de même effectif
Écart-type: Mesure la dispersion autour de la moyenne. Plus il est grand, plus les valeurs sont dispersées
Quartiles: Q_1 : 25\% des valeurs en dessous ; Q_3 : 75\% des valeurs en dessous
Probabilité d'un événement: Nombre entre 0 et 1 mesurant la chance qu'un événement se réalise
Événements incompatibles: Événements qui ne peuvent pas se réaliser en même temps : P(A \cap B) = 0

Formules

Moyenne pondérée

\bar{x} = \frac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \cdots + n_k x_k}{n_1 + n_2 + \cdots + n_k}

Variance

V = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{k} n_i(x_i - \bar{x})^2

Écart-type

\sigma = \sqrt{V}

Probabilité de l'événement contraire

P(\bar{A}) = 1 - P(A)

Réunion de deux événements

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Équiprobabilité

P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}

Condition : Uniquement en situation d'équiprobabilité

A retenir

P(\Omega) = 1 : la somme de toutes les probabilités vaut toujours 1
La médiane est plus robuste que la moyenne face aux valeurs extrêmes
Événement contraire : c'est souvent plus simple de calculer 1 - P(\bar{A}) que P(A) directement

Erreurs classiques

Erreur : Utiliser la formule d'équiprobabilité alors que les issues n'ont pas la même probabilité

Correction : \frac{\text{cas favorables}}{\text{cas totaux}} ne marche QUE si toutes les issues sont équiprobables. Sinon, additionne les probabilités.

Erreur : Confondre fréquence et probabilité

Correction : La fréquence est observée (expérience), la probabilité est théorique (modèle). Elles se rapprochent quand le nombre d'expériences augmente.

Erreur : Oublier de soustraire P(A \cap B) dans P(A \cup B) = P(A) + P(B)

Correction : Sans le - P(A \cap B), tu comptes double les issues qui sont dans A ET dans B

Astuce méthode

Quand on te demande « la probabilité qu'au moins un événement se réalise », pense au complémentaire : P(\text{au moins un}) = 1 - P(\text{aucun}). C'est presque toujours plus simple.