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Chapitre 3 — Probabilités

L'essentiel en 30 secondes

Une probabilité est un nombre entre 0 et 1 qui mesure la chance qu'un événement se produise. La somme des probabilités de toutes les issues vaut 1. Pour des événements indépendants, on multiplie les probabilités le long des branches d'un arbre. Pour l'union, on additionne en retranchant l'intersection. L'arbre de probabilités est ton meilleur outil en DS.

Notions clés

Expérience aléatoire: Expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat avec certitude (ex : lancer un dé).
Univers (Ω): Ensemble de toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire.
Événement: Sous-ensemble de l'univers. Un événement élémentaire contient une seule issue.
Événements incompatibles: Deux événements qui ne peuvent pas se produire en même temps : $P(A \cap B) = 0$ .
Arbre de probabilités: Schéma en branches où chaque branche porte une probabilité. On multiplie le long d'un chemin, on additionne les chemins menant au même événement.

Formules

Probabilité de l'événement contraire

P(\bar{A}) = 1 - P(A)

Union de deux événements

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Cas d'événements incompatibles

P(A \cup B) = P(A) + P(B)

Condition : Si A \cap B = \varnothing

Équiprobabilité

P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}

Condition : Seulement si toutes les issues sont équiprobables

A retenir

La somme des probabilités de toutes les issues de l'univers vaut toujours 1.
Dans un arbre, on MULTIPLIE le long d'un chemin et on ADDITIONNE les chemins qui mènent au même événement.
Penser à l'événement contraire : parfois P(Ā) = 1 − P(A) est plus rapide à calculer.

Erreurs classiques

Erreur : Additionner les probabilités le long d'un chemin dans un arbre.

Correction : On MULTIPLIE les probabilités le long d'un même chemin (branches successives).

Erreur : Appliquer la formule d'équiprobabilité alors que les issues ne sont pas équiprobables.

Correction : Vérifier d'abord que toutes les issues ont la même probabilité avant d'utiliser le rapport favorable/total.

Erreur : Oublier de retrancher $P(A \cap B)$ dans $P(A \cup B)$ .

Correction : Si A et B ne sont pas incompatibles, il faut retrancher l'intersection pour ne pas compter deux fois.

Astuce méthode

En DS, dessine TOUJOURS un arbre de probabilités, même si l'énoncé ne le demande pas. Cela structure ta réflexion et évite les oublis.