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L'essentiel en 30 secondes

La loi binomiale modélise le nombre de succès dans n répétitions indépendantes d'une même épreuve (Bernoulli). La loi normale est la « courbe en cloche » : elle apparaît naturellement quand on répète beaucoup d'épreuves (théorème central limite). Au bac, tu dois savoir calculer P(X = k) pour la binomiale et utiliser la calculatrice pour la loi normale.

Notions clés

Épreuve de Bernoulli: Expérience à deux issues : succès (probabilité p) ou échec (probabilité 1-p).
Loi binomiale B(n,p): X suit B(n,p) si X compte le nombre de succès lors de n répétitions indépendantes d'une épreuve de Bernoulli de paramètre p.
Loi normale \mathcal{N}(\mu, \sigma^2): Loi continue, symétrique autour de \mu, en forme de cloche. \mu est l'espérance, \sigma l'écart-type.
Loi normale centrée réduite: \mathcal{N}(0,1) : loi normale de référence. On s'y ramène par la transformation Z = \frac{X - \mu}{\sigma}.
Intervalle de fluctuation: Intervalle dans lequel la fréquence observée a 95 % de chances de se trouver. Sert à tester une hypothèse.

Formules

Probabilité binomiale

P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

Condition : X \sim B(n,p), \; k \in \{0, 1, \ldots, n\}

Espérance de B(n,p)

E(X) = np

Variance et écart-type de B(n,p)

V(X) = np(1-p) \quad ; \quad \sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}

Règle des 68-95-99,7 (loi normale)

P(\mu - \sigma \leqslant X \leqslant \mu + \sigma) \approx 0{,}68 \quad ; \quad P(\mu - 2\sigma \leqslant X \leqslant \mu + 2\sigma) \approx 0{,}95

Condition : X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)

Centrer-réduire

Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0,1)

Condition : X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)

Intervalle de fluctuation à 95 %

I_{95} = \left[p - 1{,}96\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \;; \; p + 1{,}96\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]

Condition : n \geqslant 30,\; np \geqslant 5,\; n(1-p) \geqslant 5

A retenir

Loi binomiale : $3$ conditions $\to$ répétitions indépendantes, même probabilité $p$ , on compte les succès.
Loi normale : $à$ connaître par cœur $\to 95 %$ des valeurs dans $[\mu - 2\sigma$ ; $\mu + 2\sigma ]$ .
Au bac, les calculs de loi normale se font TOUJOURS à la calculatrice. Retiens comment entrer normalcdf/NormalFréq.

Erreurs classiques

Erreur : Confondre $P(X = k)$ et $P(X \leq k)$ pour la loi binomiale

Correction : $P(X \leq k)$ est la fonction de répartition (somme cumulée). Sur la calculatrice, c'est $BinomialFréq/binomcdf$ , pas binompdf.

Erreur : Calculer P(X = k) pour une loi normale

Correction : Pour une loi continue, $P(X = k) = 0$ toujours. On calcule $P(a \leq X \leq b)$ avec la calculatrice.

Erreur : Appliquer l'intervalle de fluctuation sans vérifier les conditions

Correction : Toujours vérifier $n \geq 30, np \geq 5$ et $n(1-p) \geq 5$ avant d'utiliser l'approximation normale.

Astuce méthode