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Chapitre 7 — Géométrie repérée

L'essentiel en 30 secondes

On travaille dans le plan muni d'un repère orthonormé. Tu dois maîtriser : l'équation d'une droite (cartésienne et réduite), le vecteur directeur et le vecteur normal, la condition de parallélisme/perpendicularité, et l'équation d'un cercle. Tout repose sur les coordonnées et le calcul vectoriel.

Notions clés

Équation cartésienne de droite
ax+by+c=0ax + by + c = 0 avec (a,b)≠(0,0)(a, b) \neq (0, 0). Vecteur normal n⃗(an⃗(a ; b)b), vecteur directeur u⃗(−bu⃗(-b ; a)a).
Colinéarité
u⃗(x ; y) et v⃗(x' ; y') sont colinéaires ssi xy' − x'y = 0.
Équation de cercle
Le cercle de centre Ω(α\Omega (\alpha ; β)\beta ) et de rayon rar a pour équation (x−α)2+(y−β)2=r2(x - \alpha )^2 + (y - \beta )^2 = r^2.
Vecteur normal à une droite
Vecteur perpendiculaire à la droite. Pour ax + by + c = 0, le vecteur normal est n⃗(a ; b).

Formules

Distance entre deux points

AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}

Coordonnées du milieu

I(xA+xB2 ; yA+yB2)I\left(\frac{x_A + x_B}{2}\,;\,\frac{y_A + y_B}{2}\right)

Déterminant (colinéarité)

det⁡(u→ ,v→)=xy′−x′y\det(\overrightarrow{u}\,,\overrightarrow{v}) = xy' - x'y

Condition : = 0 \iff \text{colinéaires}

Parallélisme

u→ et v→ colineˊaires  ⟺  xy′−x′y=0\overrightarrow{u} \text{ et } \overrightarrow{v} \text{ colinéaires} \iff xy' - x'y = 0

Perpendicularité

u→⋅v→=0  ⟺  xx′+yy′=0\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0 \iff xx' + yy' = 0

Condition : \text{Repère orthonormé}

Équation du cercle

(x−α)2+(y−β)2=r2(x - \alpha)^2 + (y - \beta)^2 = r^2

Condition : \text{Centre }\Omega(\alpha\,;\,\beta)\text{, rayon }r

Équation de droite passant par A, de vecteur normal n⃗(a ; b)

a(x−xA)+b(y−yA)=0a(x - x_A) + b(y - y_A) = 0

A retenir

  • Pour une droite ax + by + c = 0 : le vecteur NORMAL est (a ; b) et le vecteur DIRECTEUR est (−b ; a). Ne confonds pas les deux.
  • Droites parallèles ⇔\Leftrightarrow vecteurs directeurs colinéaires ⇔\Leftrightarrow vecteurs normaux colinéaires.
  • Droites perpendiculaires ⇔\Leftrightarrow vecteurs normaux orthogonaux ⇔\Leftrightarrow produit scalaire des normaux =0= 0.

Erreurs classiques

Erreur : Confondre vecteur directeur et vecteur normal d'une droite.

Correction : Pour ax + by + c = 0 : normal = (a ; b), directeur = (−b ; a). Le normal est perpendiculaire à la droite, le directeur est parallèle.

Erreur : Oublier de mettre au carré dans la formule de distance ou de cercle.

Correction : La distance c'est une racine carrée de somme de carrés. L'équation du cercle c'est une somme de carrés =r2= r^2.

Erreur : Confondre centre et rayon quand l'équation du cercle est développée.

Correction : Si on te donne x2+y2−4x+6y−3=0x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0, regroupe et complète les carrés : (x−2)2+(y+3)2=16(x-2)^2 + (y+3)^2 = 16. Centre (2(2 ; −3)-3), rayon 44.

Astuce méthode

Pour trouver l'équation d'une droite, identifie d'abord ce que tu connais : un point ++ un vecteur normal →\to équation cartésienne directe. Un point ++ la pente →\to équation réduite. Deux points →\to calcul du vecteur directeur d'abord.