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L'essentiel en 30 secondes

La fonction exponentielle exp (notée aussi $eˣ)$ est LA fonction qui est sa propre dérivée et qui vaut $1$ en $0$ . Elle est strictement positive, strictement croissante sur $ℝ$ , et transforme les sommes en produits : $e^(a+b) = eᵃ \times eᵇ$ . C'est la réciproque du logarithme népérien.

Notions clés

Définition: Unique fonction dérivable sur ℝ telle que f' = f et f(0) = 1.
Propriété fondamentale: Pour tous réels $a$ et $b$ : $e^(a+b) = eᵃ \times eᵇ$ . L'exponentielle transforme les sommes en produits.
Signe: eˣ > 0 pour tout réel x. L'exponentielle ne s'annule JAMAIS.
Équation eˣ = k: Si $k > 0$ : unique solution $x = ln(k)$ . Si $k \leq 0$ : aucune solution.

Formules

Propriétés algébriques

\mathrm{e}^{a+b} = \mathrm{e}^a \times \mathrm{e}^b \quad;\quad \mathrm{e}^{a-b} = \frac{\mathrm{e}^a}{\mathrm{e}^b} \quad;\quad (\mathrm{e}^a)^n = \mathrm{e}^{na}

Inverse

\mathrm{e}^{-x} = \frac{1}{\mathrm{e}^x}

Dérivée de eˣ

(\mathrm{e}^x)' = \mathrm{e}^x

Dérivée de e^{u(x)}

(\mathrm{e}^{u})' = u' \, \mathrm{e}^{u}

Condition : u \text{ dérivable}

Équation / inéquation

\mathrm{e}^a = \mathrm{e}^b \iff a = b \quad;\quad \mathrm{e}^a < \mathrm{e}^b \iff a < b

A retenir

eˣ > 0 pour TOUT x. On ne résout jamais eˣ = 0 (pas de solution) et on ne divise jamais par eˣ en ayant peur que ce soit nul.
Pour résoudre une équation avec des exponentielles, $ramène-toi à eᴬ = eᴮ \Leftrightarrow A = B$ .
La dérivée de $e^(u(x))$ est $u'(x) \times e^(u(x))$ . Ne pas oublier le $u'$ devant !

Erreurs classiques

Erreur : Écrire e⁰ = 0 au lieu de e⁰ = 1.

Correction : e⁰ = 1 toujours. L'exponentielle de 0, c'est 1.

Erreur : Oublier u' dans la dérivée de e^u : écrire (e^u)' = e^u au lieu de u'e^u.

Correction : C'est une dérivée composée : on dérive d'abord l'exposant, puis on multiplie par e^u.

Erreur : Écrire $eᵃ \times eᵇ = e^(ab)$ au lieu de $e^(a+b)$ .

Correction : L'exponentielle transforme les SOMMES en produits : $eᵃ \times eᵇ = e^(a+b)$ . Les exposants S'AJOUTENT.

Astuce méthode