Mathématiques · seconde

Chapitre 5 — Fonctions de référence : carré, inverse, cube, racine

L'essentiel en 30 secondes

Les quatre fonctions de référence sont tes outils de base. Tu dois connaître par cœur leur formule, leur ensemble de définition, leur sens de variation et l'allure de leur courbe. La fonction carré donne une parabole, la fonction inverse une hyperbole, la fonction cube une courbe en S, et la racine carrée une demi-courbe qui part de l'origine.

Notions clés

Fonction carré: f(x) = x^2, définie sur \mathbb{R}, décroissante sur ]-\infty\,;0] et croissante sur [0\,;+\infty[
Fonction inverse: f(x) = \frac{1}{x}, définie sur \mathbb{R}^* = ]-\infty\,;0[ \cup ]0\,;+\infty[, décroissante sur chaque intervalle
Fonction cube: f(x) = x^3, définie sur \mathbb{R}, strictement croissante sur \mathbb{R}
Fonction racine carrée: f(x) = \sqrt{x}, définie sur [0\,;+\infty[, strictement croissante sur [0\,;+\infty[

Formules

Carré — propriété

x^2 = a \iff x = \sqrt{a} \text{ ou } x = -\sqrt{a} \quad (a \geqslant 0)

Condition : Si a < 0, pas de solution réelle

Racine carrée — propriété

\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \quad (a \geqslant 0,\; b \geqslant 0)

Racine carrée — quotient

\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \quad (a \geqslant 0,\; b > 0)

Inverse — signe

\frac{1}{x} > 0 \iff x > 0

Condition : x \neq 0

A retenir

La fonction carré n'est PAS croissante sur \mathbb{R} : elle est décroissante sur les négatifs
La fonction inverse est décroissante sur ]-\infty\,;0[ ET sur ]0\,;+\infty[, mais on ne dit PAS décroissante sur \mathbb{R}^*
\sqrt{x} n'existe que pour x \geqslant 0

Erreurs classiques

Erreur : Écrire que la fonction inverse est décroissante sur \mathbb{R}^*

Correction : Elle est décroissante sur ]-\infty\,;0[ et décroissante sur ]0\,;+\infty[, séparément. On ne peut pas comparer f(-1) et f(1) par variation.

Erreur : Écrire \sqrt{a+b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}

Correction : FAUX ! \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5 \neq 3+4. La racine ne distribue que sur le produit et le quotient.

Erreur : Oublier la solution négative de x^2 = a

Correction : x^2 = 9 donne x = 3 OU x = -3. Il y a toujours deux solutions (si a > 0).

Astuce méthode

Pour comparer deux nombres sans calculatrice, utilise les variations des fonctions de référence. Par exemple, comme $x^2$ est croissante sur $[0;+\infty [$ , si $0 < a < b$ alors $a^2 < b^2$ .