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Chapitre 7 — Combinatoire et dénombrement

L'essentiel en 30 secondes

Dénombrer = compter le nombre de façons de choisir ou d'arranger des éléments. Les deux outils fondamentaux sont les permutations (ordre compte) et les combinaisons (ordre ne compte pas). Le coefficient binomial \binom{n}{k} compte le nombre de parties à k éléments dans un ensemble de n éléments.

Notions clés

Factorielle
n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1. Par convention, 0! = 1.
Permutation
Arrangement de n objets tous différents. Il y a n! permutations de n éléments.
Combinaison
Choix de k éléments parmi n, SANS tenir compte de l'ordre. Noté \binom{n}{k}.
Principe multiplicatif
Si une action se décompose en étapes indépendantes avec n_1, n_2, \ldots, n_p choix, le nombre total est n_1 \times n_2 \times \cdots \times n_p.

Formules

Coefficient binomial

(nk)=n!k!(n−k)!\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

Condition : 0 \leqslant k \leqslant n

Symétrie du coefficient binomial

(nk)=(nn−k)\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}

Formule de Pascal

(n+1k+1)=(nk)+(nk+1)\binom{n+1}{k+1} = \binom{n}{k} + \binom{n}{k+1}

Cas particuliers

(n0)=(nn)=1;(n1)=n\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1 \quad ; \quad \binom{n}{1} = n

Formule du binôme de Newton

(a+b)n=∑k=0n(nk)an−kbk(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

A retenir

  • LA question aˋà se poser : l'ordre compte−t−ilcompte-t-il ? OUI →\to arrangement. NON →\to combinaison.
  • \binom{n}{k} se lit « k parmi n ». Retiens les valeurs courantes : \binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}.

Erreurs classiques

Erreur : Utiliser \binom{n}{k} quand l'ordre est important

Correction : Si l'ordre compte (ex : classement, code), ce n'est PAS une combinaison. Utilise n!/(n-k)! ou le principe multiplicatif.

Erreur : Confondre \binom{n}{k} et \frac{n!}{k!}

Correction : La combinaison est \frac{n!}{k!(n-k)!} : ne pas oublier le (n-k)! au dénominateur.

Erreur : Calculer (303)=30×29×28\binom{30}{3} = 30 \times 29 \times 28 sans diviser par 3!3!

Correction : 30×29×2830 \times 29 \times 28 est le nombre d'arrangements. Pour la combinaison, il faut diviser par 3!=63! = 6.

Astuce méthode

Au bac, reformule toujours le problème avec la phrase : « Je choisis ... parmi ... , l'ordre compte / ne compte pas ». Cette phrase te donne directement la formule à utiliser.