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Chapitre 6 — Produit scalaire

L'essentiel en 30 secondes

Le produit scalaire de deux vecteurs donne un NOMBRE (pas un vecteur). Il se calcule de plusieurs façons : avec le cosinus de l'angle, avec les coordonnées, ou avec les normes. Il sert principalement à calculer des angles, des longueurs, et à montrer que deux droites sont perpendiculaires (produit scalaire nul).

Notions clés

Produit scalaire (définition géométrique)
u⃗⋅v⃗=u⃗ · v⃗ = ‖u⃗‖ ×\times ‖v⃗‖ ×cos(u⃗,v⃗)\times cos(u⃗, v⃗). C'est un nombre réel.
Orthogonalité
Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.
Norme d'un vecteur
‖u⃗‖ =(u⃗⋅u⃗)= \sqrt(u⃗ · u⃗). En coordonnées : ‖u⃗‖ =(x2+y2)= \sqrt(x^2 + y^2).
Projeté orthogonal
Le projeté orthogonal de B sur (OA) permet de calculer le produit scalaire par projection.

Formules

Avec le cosinus

u→⋅v→=∥u→∥×∥v→∥×cos⁡(u→ ,v→)\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \|\overrightarrow{u}\| \times \|\overrightarrow{v}\| \times \cos(\overrightarrow{u}\,,\overrightarrow{v})

Avec les coordonnées

u→(xy)⋅v→(x′y′)=xx′+yy′\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \cdot \overrightarrow{v}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} = xx' + yy'

Condition : \text{Dans un repère orthonormé}

Formule avec les normes

u→⋅v→=12(∥u→+v→∥2−∥u→∥2−∥v→∥2)\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \frac{1}{2}\left(\|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\|^2 - \|\overrightarrow{u}\|^2 - \|\overrightarrow{v}\|^2\right)

Formule de polarisation

u→⋅v→=12(∥u→∥2+∥v→∥2−∥u→−v→∥2)\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \frac{1}{2}\left(\|\overrightarrow{u}\|^2 + \|\overrightarrow{v}\|^2 - \|\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\|^2\right)

Formule d'Al-Kashi

BC2=AB2+AC2−2 AB×AC×cos⁡(BAC^)BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2\,AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC})

Condition : \text{Dans le triangle ABC}

Cos de l'angle entre deux vecteurs

cos⁡(u→ ,v→)=u→⋅v→∥u→∥×∥v→∥\cos(\overrightarrow{u}\,,\overrightarrow{v}) = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{\|\overrightarrow{u}\| \times \|\overrightarrow{v}\|}

Condition : \overrightarrow{u} \neq \overrightarrow{0} \text{ et } \overrightarrow{v} \neq \overrightarrow{0}

A retenir

  • u⃗⋅v⃗=0⇔u⃗u⃗ · v⃗ = 0 \Leftrightarrow u⃗ et v⃗v⃗ sont orthogonaux. C'est LE critère de perpendicularité aˋà retenir.
  • Le produit scalaire est un NOMBRE, pas un vecteur. Il peut être positif, négatif ou nul.
  • En coordonnées dans un repère orthonormé : c'est juste xx' + yy'. Simple et efficace.

Erreurs classiques

Erreur : Utiliser la formule xx' + yy' dans un repère qui n'est pas orthonormé.

Correction : La formule avec les coordonnées ne marche QUE dans un repère orthonormé. Sinon, utilise une autre expression.

Erreur : Écrire que le produit scalaire est un vecteur.

Correction : u⃗ · v⃗ est un NOMBRE réel (un scalaire). C'est pour ça qu'on dit « scalaire ».

Erreur : Oublier qu'Al-Kashi est une généralisation de Pythagore et ne l'utiliser que pour les triangles rectangles.

Correction : Al-Kashi marche dans TOUT triangle. Si l'angle est droit, le terme en cosinus disparaît et on retrouve Pythagore.

Astuce méthode

Pour montrer un angle droit dans un exercice, calcule le produit scalaire des deux vecteurs directeurs et montre qu'il vaut 0. C'est la méthode la plus rapide et la plus sûre.