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Chapitre 1 — Proportions et évolutions

L'essentiel en 30 secondes

Pour calculer une évolution, tu utilises le coefficient multiplicateur (CM). Une hausse de 20 % revient à multiplier par 1,2 ; une baisse de 30 % revient à multiplier par 0,7. Pour enchaîner des évolutions, tu multiplies les CM entre eux. Pour retrouver le taux global, tu soustrais 1 au CM global. C'est la base de tout calcul de prix, salaires ou remises.

Notions clés

Proportion: Rapport d'un effectif partiel sur l'effectif total, compris entre 0 et 1. On l'exprime souvent en pourcentage.
Taux d'évolution: Variation en pourcentage entre une valeur de départ et une valeur d'arrivée : t = (V_f - V_i) / V_i.
Coefficient multiplicateur (CM): Nombre par lequel on multiplie la valeur initiale pour obtenir la valeur finale. CM = 1 + t (avec t le taux en écriture décimale).
Évolutions successives: On multiplie les coefficients multiplicateurs entre eux pour obtenir le CM global.
Évolution réciproque: Pour revenir à la valeur de départ après une évolution de CM c, on multiplie par 1/c.

Formules

Taux d'évolution

t = \frac{V_f - V_i}{V_i}

Condition : V_i \neq 0

Coefficient multiplicateur

CM = 1 + t

Condition : t exprimé en écriture décimale (ex : +20\% \Rightarrow t = 0{,}2)

Valeur finale

V_f = V_i \times CM

CM global (évolutions successives)

CM_{\text{global}} = CM_1 \times CM_2 \times \cdots \times CM_n

Taux global

t_{\text{global}} = CM_{\text{global}} - 1

A retenir

On N'ADDITIONNE PAS des pourcentages d'évolution : $+10 %$ puis $+10 %$ ne font pas $+20 %$ mais $+21 % (CM = 1,1 \times 1,1 = 1,21)$ .
Un CM > 1 correspond à une hausse ; un CM < 1 correspond à une baisse.
Pour annuler une hausse de 25 % (CM = 1,25), il faut une baisse de 20 % (CM = 1/1,25 = 0,8), pas de 25 %.

Erreurs classiques

Erreur : Additionner les pourcentages lors d'évolutions successives.

Correction : Multiplier les coefficients multiplicateurs entre eux, puis calculer le taux global.

Erreur : Croire qu'une hausse de x % suivie d'une baisse de x % ramène à la valeur initiale.

Correction : Le $CM$ global est $(1 + t)(1 - t) = 1 - t^2$ , qui est inférieur $à 1$ : on est en dessous de la valeur de départ.

Erreur : Confondre « augmenter de 30 % » et « augmenter jusqu'à 30 % ».

Correction : $«$ Augmenter de $30 % » \to$ multiplier par $1,3. «$ Passer $à 30 %$ du total $» \to$ la proportion finale vaut $0,3$ .

Astuce méthode

Devant un problème d'évolution, commence toujours par identifier la valeur initiale et le CM. Tout le reste en découle.