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Chapitre 6 — Vecteurs du plan

L'essentiel en 30 secondes

Un vecteur représente un déplacement : il a une direction, un sens et une longueur (norme). Deux vecteurs sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même norme. Le vecteur \overrightarrow{AB} va de A vers B. On peut additionner des vecteurs (règle du parallélogramme) et les multiplier par un réel. Le milieu et la colinéarité sont les deux applications principales.

Notions clés

Vecteur \overrightarrow{AB}
Déplacement du point A vers le point B, caractérisé par sa direction, son sens et sa norme
Coordonnées d'un vecteur
Si A(x_A\,;y_A) et B(x_B\,;y_B), alors \overrightarrow{AB}\binom{x_B - x_A}{y_B - y_A}
Vecteurs colinéaires
\vec{u} et \vec{v} sont colinéaires s'il existe k \in \mathbb{R} tel que \vec{v} = k\vec{u} (ou si \vec{u} = \vec{0})
Norme d'un vecteur
\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}

Formules

Coordonnées du milieu de [AB]

I(xA+xB2 ;yA+yB2)I\left(\frac{x_A+x_B}{2}\,;\frac{y_A+y_B}{2}\right)

Critère de colinéarité (déterminant)

u⃗(xy) et v⃗(x′y′) colineˊaires  ⟺  xy′−x′y=0\vec{u}\binom{x}{y} \text{ et } \vec{v}\binom{x'}{y'} \text{ colinéaires} \iff xy' - x'y = 0

Somme de vecteurs (coordonnées)

u⃗+v⃗=(x+x′y+y′)\vec{u}+\vec{v} = \binom{x+x'}{y+y'}

Produit par un réel

ku⃗=(kxky)k\vec{u} = \binom{kx}{ky}

Relation de Chasles

AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}

A retenir

  • \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} signifie que ABCD est un parallélogramme (dans cet ordre, attention)
  • Colinéaires = même direction (parallèles). Le déterminant nul est LE critère à retenir
  • La relation de Chasles est ton meilleur outil pour simplifier les sommes de vecteurs

Erreurs classiques

Erreur : Inverser le sens : écrire \overrightarrow{AB}\binom{x_A-x_B}{y_A-y_B}

Correction : C'est toujours arrivée − départ : \overrightarrow{AB}\binom{x_B-x_A}{y_B-y_A}

Erreur : Confondre colinéaires et égaux

Correction : Colinéaires = même direction (parallèles, pas forcément même sens ni même norme). Égaux = même direction, même sens, même norme.

Astuce méthode

Pour montrer que trois points A, B, C sont alignés, montre que \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont colinéaires (déterminant = 0).