Suites arithmétiques et géométriques

Les notions à connaître

Suite arithmétique

On passe d'un terme au suivant en ajoutant la raison $r$ : $u_{n+1} = u_n + r$. Terme général : $u_n = u_0 + n\,r$. Exemple : avec $u_0 = 3$ et $r = 2$, on a $u_5 = 3 + 5 \times 2 = 13$.

Suite géométrique

On passe d'un terme au suivant en multipliant par la raison $q$ : $u_{n+1} = u_n \times q$. Terme général : $u_n = u_0 \times q^{\,n}$. Exemple : avec $u_0 = 100$ et $q = 1{,}5$, on a $u_3 = 100 \times 1{,}5^{\,3} = 337{,}5$.

Raison

Nombre caractéristique : $r$ (ce qu'on ajoute) pour une suite arithmétique, $q$ (ce par quoi on multiplie) pour une suite géométrique. Exemple : la suite $2\,;\,5\,;\,8\,;\,11$ est arithmétique de raison $r = 3$ ; la suite $2\,;\,6\,;\,18\,;\,54$ est géométrique de raison $q = 3$.

Lien avec les pourcentages

Une évolution de $t\,\%$ à chaque étape donne une suite géométrique de raison $q = 1 + \dfrac{t}{100}$. Exemple : une hausse de $4\,\%$ par an correspond à $q = 1{,}04$ ; une baisse de $4\,\%$ à $q = 0{,}96$.

Les erreurs à éviter en mathématiques

• ✗ Confondre les deux modèles : utiliser $+r$ alors que l'énoncé décrit une multiplication.

  ✓ « augmente de 50 unités » $\to$ arithmétique ; « augmente de 5 % » $\to$ géométrique.

• ✗ Se tromper d'exposant : écrire $u_n = u_0 \times q^{\,n-1}$ en partant de $u_0$.

  ✓ Si le premier terme est $u_0$, alors $u_n = u_0 \times q^{\,n}$.

• ✗ Calculer $u_{10}$ en multipliant $10$ fois à la main et se tromper.

  ✓ Utiliser directement la formule $u_n = u_0 \times q^{\,n}$.

Sais-tu répondre à ces questions ?

Les corrigés détaillés sont dans le quiz du chapitre.

1. Soit une suite arithmétique de premier terme $u_0 = 5$ et de raison $r = 3$. Que vaut $u_4$ ?
2. Soit une suite géométrique de premier terme $u_0 = 100$ et de raison $q = 1{,}2$. Que vaut $u_2$ ?
3. Une population augmente de $5\,\%$ chaque année. Comment modélise-t-on l'évolution ?
4. Une suite géométrique a pour premier terme $u_0 = 2$ et raison $q = 3$. Quelle est l'expression de $u_n$ ?
5. Soit une suite arithmétique avec $u_0 = 10$ et raison $r = -2$. Que vaut $u_3$ ?