Dérivation et variations d'une fonction

Les notions à connaître

Nombre dérivé

$f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$. Exemple : pour $f(x) = x^2$, $f'(x) = 2x$, donc $f'(3) = 6$ : la tangente en $x = 3$ a pour pente $6$.

Tangente

Droite qui « épouse » la courbe en un point. Son équation : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$. Exemple : pour $f(x) = x^2$ en $a = 1$, on a $f(1) = 1$ et $f'(1) = 2$, donc la tangente est $y = 2(x - 1) + 1 = 2x - 1$.

Fonction dérivée

Fonction $f'$ qui à chaque $x$ associe le nombre dérivé. Se calcule avec les formules usuelles. Exemple : si $f(x) = x^3 - 2x$, alors $f'(x) = 3x^2 - 2$.

Signe de la dérivée et variations

Si $f'(x) > 0$ sur un intervalle, $f$ y est croissante ; si $f'(x) < 0$, $f$ y est décroissante. Exemple : pour $f(x) = x^2$, $f'(x) = 2x$ est négatif avant $0$ (décroissance) et positif après $0$ (croissance) : minimum en $x = 0$.

Les erreurs à éviter en mathématiques

• ✗ Dériver une constante en $1$ au lieu de $0$.

  ✓ $(k)' = 0$ pour tout nombre fixe $k$.

• ✗ Écrire $(x^2)' = x$.

  ✓ $(x^2)' = 2x$ : on multiplie par l'exposant et on baisse l'exposant de 1.

• ✗ Confondre $f(a)$ et $f'(a)$ dans l'équation de la tangente.

  ✓ $f'(a)$ est la pente, $f(a)$ l'ordonnée du point de contact.

Sais-tu répondre à ces questions ?

Les corrigés détaillés sont dans le quiz du chapitre.

1. Quelle est la dérivée de $f(x) = x^3$ ?
2. Quelle est la dérivée de la fonction constante $f(x) = 7$ ?
3. Si $f'(x) > 0$ sur un intervalle $I$, alors sur $I$ la fonction $f$ est...
4. Quelle est la dérivée de $f(x) = x^2 - 4x + 1$ ?
5. Quelle est la dérivée de $f(x) = 5x^2$ ?