Croisement de deux variables catégorielles

Les notions à connaître

Variable catégorielle

Variable dont les valeurs sont des catégories et non des nombres à calculer : nominale (sans ordre : profession, espèce, département) ou ordinale (avec ordre : niveau d'étude, degré de satisfaction). Exemple : le type d'un aspirateur (avec ou sans sac) est une variable nominale.

Tableau croisé d'effectifs

Tableau qui compte les individus selon deux variables catégorielles à la fois : chaque case donne l'effectif d'un croisement de catégories, et les marges donnent les totaux par ligne et par colonne. Exemple : des aspirateurs classés selon « $avec/sans$ sac » et « $avec/sans$ fil ».

Fréquence marginale

Part d'une catégorie d'UNE seule variable dans l'effectif total : $f_A = \dfrac{n_A}{N}$. Elle se lit dans la marge du tableau. Exemple : $40$ aspirateurs avec sac sur $100$ au total : fréquence marginale $\dfrac{40}{100} = 0{,}4$.

Fréquence conditionnelle

Part des B PARMI les A : $f_A(B) = \dfrac{n_{A \cap B}}{n_A}$. On divise par l'effectif de la sous-population $A$, pas par l'effectif total. Exemple : $10$ aspirateurs sans fil parmi les $40$ avec sac : $f_{\text{avec sac}}(\text{sans fil}) = \dfrac{10}{40} = 0{,}25$.

Les erreurs à éviter en mathématiques

• ✗ Diviser par l'effectif total $N$ pour répondre à une question « parmi les A… ».

  ✓ « Parmi les A » impose de diviser par $n_A$, l'effectif de la sous-population citée : $f_A(B) = \dfrac{n_{A \cap B}}{n_A}$.

• ✗ Confondre $f_A(B)$ et $f_B(A)$ (même numérateur, mais pas le même dénominateur).

  ✓ Repérer la sous-population citée après « parmi » ou « sachant que » : c'est elle qui donne le dénominateur.

• ✗ Additionner des fréquences conditionnelles calculées sur des sous-populations différentes.

  ✓ On ne peut additionner que des effectifs, ou des fréquences de même dénominateur. En cas de doute, repasser par les effectifs du tableau.

Sais-tu répondre à ces questions ?

Les corrigés détaillés sont dans le quiz du chapitre.

1. Dans un lycée de $200$ élèves, il y a $120$ filles. Quelle est la fréquence marginale des filles ?
2. Sur les $80$ garçons d'un lycée, $50$ sont demi-pensionnaires. Parmi les garçons, quelle est la fréquence des demi-pensionnaires ?
3. Un lycée de $200$ élèves compte $140$ demi-pensionnaires, dont $90$ filles. Parmi les demi-pensionnaires, quelle est la part des filles ?
4. Dans un tableau croisé, la ligne « Catégorie A » a pour total $100$, et la case « A et B » contient $40$. Que contient la case « A et non B » ?
5. Un magasin propose $100$ aspirateurs, dont $60$ sans sac ; parmi ces derniers, $40$ sont sans fil. Parmi les aspirateurs sans sac, quelle est la fréquence des modèles sans fil ?