MathématiquesChapitre 4

Fonctions polynômes de degré 2 et 3

L'essentiel en 30 secondes

Une fonction modélise la dépendance entre deux grandeurs (notations y = f(x) et x ↦ f(x)) ; son taux de variation mesure sa pente moyenne. Les polynômes de degré 2 donnent des paraboles : sous la forme factorisée a(x−x₁)(x−x₂), on lit racines, signe et axe de symétrie. Même démarche au degré 3. Les équations x² = c et x³ = c se résolvent avec racine carrée et racine cubique.

Les notions à connaître

Taux de variation: Entre $a$ et $b$ , le taux de variation de $f$ est $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$ : c'est la pente de la sécante à la courbe passant par les points d'abscisses $a$ et $b$ . Une fonction est croissante sur un intervalle quand son taux de variation y est toujours positif. Exemple : pour $f(x) = x^2$ entre $1$ et $3$ : $\dfrac{9 - 1}{3 - 1} = 4$ .
Racine d'un polynôme: Valeur de $x$ qui annule le polynôme : $f(x) = 0$ . Pour vérifier qu'une valeur conjecturée est racine, on calcule son image. Exemple : $3$ est racine de $x^2 - x - 6$ car $9 - 3 - 6 = 0$ .
Forme factorisée (degré 2): $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ : les racines $x_1$ et $x_2$ se lisent directement, et le signe s'en déduit (signe de $a$ à l'extérieur des racines, signe opposé entre elles). Exemple : $2(x - 1)(x - 5)$ s'annule en $1$ et $5$ , et est négative entre $1$ et $5$ .
Racine cubique: L'équation $x^3 = c$ , avec $c$ positif, admet une unique solution : la racine cubique de $c$ , notée $\sqrt[3]{c}$ ou $c^{1/3}$ . Exemple : $\sqrt[3]{8} = 2$ car $2^3 = 8$ . À distinguer de $x^2 = c$ qui a deux solutions ( $\sqrt{c}$ et $-\sqrt{c}$ ).

Les erreurs à éviter en mathématiques

Se lancer dans le calcul du discriminant $\Delta$ pour trouver les racines.
Le calcul des racines à l'aide du discriminant n'est PAS au programme de la voie technologique : on lit les racines sur la forme factorisée $a(x - x_1)(x - x_2)$ , ou on vérifie une racine conjecturée en calculant son image.
Lire les racines de $(x + 3)(x - 2)$ comme $3$ et $-2$ (oubli du changement de signe).
$x + 3 = 0$ donne $x = -3$ : les racines sont $-3$ et $2$ .
Donner une seule solution à $x^2 = 9$ , ou deux solutions à $x^3 = 8$ .
$x^2 = 9$ a deux solutions : $3$ et $-3$ . $x^3 = 8$ n'en a qu'une : $\sqrt[3]{8} = 2$ .

Sais-tu répondre à ces questions ?

Les corrigés détaillés sont dans le quiz du chapitre.

Quelles sont les racines du polynôme $f(x) = (x - 2)(x + 5)$ ?
Quelle est la solution de l'équation $x^3 = 8$ ?
Quel est le taux de variation de $f(x) = x^2$ entre $x = 1$ et $x = 3$ ?
Quel est l'axe de symétrie de la parabole d'équation $y = 2(x - 1)(x - 5)$ ?
Quel est le signe de $f(x) = -2(x - 1)(x - 4)$ pour $x$ strictement compris entre $1$ et $4$ ?

Accède à la fiche complète

Crée ton compte gratuit pour lire la fiche en entier et accéder à 7 000+ contenus de révision.

Créer un compte gratuit Se connecter