Probabilités : conditionnement et variables aléatoires

Les notions à connaître

Probabilité conditionnelle

Probabilité de $B$ sachant $A$ : $P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$, avec $P(A) \neq 0$. Exemple : si $P(A) = 0{,}5$ et $P(A \cap B) = 0{,}2$, alors $P_A(B) = \dfrac{0{,}2}{0{,}5} = 0{,}4$.

Arbre pondéré

Schéma où chaque branche porte une probabilité. La somme des branches issues d'un nœud vaut $1$. Exemple : d'un nœud partent deux branches $0{,}3$ et $0{,}7$, dont la somme fait bien $1$.

Variable aléatoire

Fonction $X$ qui associe un nombre à chaque issue d'une expérience aléatoire (ex : un gain). Exemple : à un jeu, $X = +5$ € en cas de gain et $X = -2$ € en cas de perte.

Espérance

Valeur moyenne attendue : $E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n$. Exemple : avec la loi $(-2\,;\,0{,}3)$, $(0\,;\,0{,}5)$, $(5\,;\,0{,}2)$, $E(X) = -2 \times 0{,}3 + 0 \times 0{,}5 + 5 \times 0{,}2 = 0{,}4$.

Les erreurs à éviter en mathématiques

• ✗ Confondre $P_A(B)$ et $P_B(A)$.

  ✓ « sachant A » fixe le dénominateur : $P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$, à ne pas inverser.

• ✗ Additionner les probabilités le long d'un chemin de l'arbre.

  ✓ Le long d'un chemin, on MULTIPLIE ; on additionne seulement entre chemins différents.

• ✗ Oublier une valeur dans le calcul de l'espérance.

  ✓ $E(X)$ somme TOUS les produits $x_i \times p_i$.

Sais-tu répondre à ces questions ?

Les corrigés détaillés sont dans le quiz du chapitre.

1. On a $P(A) = 0{,}5$ et $P(A \cap B) = 0{,}2$. Que vaut $P_A(B)$ ?
2. Sur un arbre pondéré, que vaut la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud ?
3. Le long d'un chemin d'un arbre pondéré, on... les probabilités.
4. Une variable aléatoire prend les valeurs $-2$ (proba $0{,}3$), $0$ (proba $0{,}5$) et $5$ (proba $0{,}2$). Quelle est son espérance ?
5. On a $P(A) = 0{,}4$ et $P_A(B) = 0{,}5$. Que vaut $P(A \cap B)$ ?