Mesure et incertitudes : incertitude-type composée et validité d'un résultat

Les notions à connaître

Incertitude-type de type A (rappel et approfondissement)

Évaluation statistique : on répète $n$ fois la mesure, on calcule la moyenne $\bar{x}$ et l'écart-type expérimental $s$, puis $u(\bar{x}) = \dfrac{s}{\sqrt{n}}$. Multiplier $n$ par $4$ divise l'incertitude par $2$ seulement : améliorer un protocole est souvent plus efficace que multiplier les mesures. Exemple : $s = 0{,}40\ \text{ms}$ sur $n = 25$ mesures d'un temps de propagation donne $u(\bar{x}) = \dfrac{0{,}40}{5} = 0{,}08\ \text{ms}$.

Incertitude-type d'une mesure unique

Quand on ne fait qu'une seule mesure, on évalue $u$ avec une relation fournie. Pour un appareil numérique de résolution $p$ (plus petit incrément d'affichage) : $u = \dfrac{p}{\sqrt{12}}$. Pour une tolérance constructeur $\pm a$ : $u = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$. Exemple : un voltmètre de résolution $p = 0{,}01\ \text{V}$ donne $u = \dfrac{0{,}01}{\sqrt{12}} \approx 0{,}003\ \text{V}$.

Incertitude-type composée : somme ou différence

Si $y = a + b$ ou $y = a - b$, les incertitudes-types ABSOLUES se composent en quadrature : $u(y) = \sqrt{u(a)^2 + u(b)^2}$. On n'additionne jamais directement $u(a) + u(b)$, ce qui surestimerait l'incertitude. Exemple : deux masses pesées avec $u(m_1) = 0{,}3\ \text{g}$ et $u(m_2) = 0{,}4\ \text{g}$ donnent pour la masse totale $u = \sqrt{0{,}09 + 0{,}16} = 0{,}5\ \text{g}$.

Incertitude-type composée : produit ou quotient

Si $y = a \times b$ ou $y = \dfrac{a}{b}$, ce sont les incertitudes RELATIVES qui se composent en quadrature : $\dfrac{u(y)}{y} = \sqrt{\left(\dfrac{u(a)}{a}\right)^2 + \left(\dfrac{u(b)}{b}\right)^2}$. Exemple : pour $R = \dfrac{U}{I}$ avec $\dfrac{u(U)}{U} = 1\,\%$ et $\dfrac{u(I)}{I} = 2\,\%$, on obtient $\dfrac{u(R)}{R} = \sqrt{1 + 4} \approx 2{,}2\,\%$.

Grandeur élevée à une puissance

Si $y = a^n$, l'incertitude relative est multipliée par $|n|$ : $\dfrac{u(y)}{|y|} = |n| \times \dfrac{u(a)}{|a|}$. Les puissances amplifient donc fortement les incertitudes. Exemple : pour le volume d'un cube $V = a^3$ avec $\dfrac{u(a)}{a} = 1\,\%$, on obtient $\dfrac{u(V)}{V} = 3\,\%$.

Poids des sources d'erreur

Dans une incertitude composée, on compare la contribution de chaque source : celle qui a la plus grande incertitude (relative pour un produit) domine le résultat, car la quadrature écrase les petites contributions. Pour améliorer un protocole, on réduit d'abord la source dominante. Exemple : avec des contributions relatives de $2{,}0\,\%$ et $0{,}3\,\%$, l'incertitude composée vaut $\sqrt{4{,}0 + 0{,}09} \approx 2{,}0\,\%$ : la seconde source est négligeable.

Valeur de référence et validité d'un résultat

La valeur attendue (constante tabulée, valeur du modèle, valeur constructeur) est la valeur de référence $x_{\text{réf}}$. On évalue l'écart en NOMBRE D'INCERTITUDES-TYPES : $k = \dfrac{|\bar{x} - x_{\text{réf}}|}{u(\bar{x})}$. Selon le contexte, on juge souvent le résultat compatible si $k \leqslant 2$. Exemple : $v_{\text{son}}$ mesurée à $346\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ avec $u = 2\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ contre une référence de $343\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ donne $k = \dfrac{3}{2} = 1{,}5$ : mesure compatible.

Écriture et arrondi d'un résultat

L'incertitude-type s'arrondit à 1 ou 2 chiffres significatifs (par excès en général), et la valeur mesurée s'arrondit AU MÊME RANG décimal. On utilise l'écriture scientifique pour les très grandes ou très petites valeurs. Exemple : $\bar{m} = 1{,}25378\ \text{kg}$ avec $u = 0{,}0123\ \text{kg}$ s'écrit $m = (1{,}254 \pm 0{,}012)\ \text{kg}$.

Les erreurs à éviter en physique-chimie et mathématiques

• ✗ Additionner directement les incertitudes ($u_1 + u_2$) au lieu de les composer en quadrature.

  ✓ On calcule toujours $\sqrt{u_1^2 + u_2^2}$ : avec $u_1 = 0{,}3$ et $u_2 = 0{,}4$, on obtient $0{,}5$ et non $0{,}7$.

• ✗ Composer les incertitudes absolues pour un quotient (par exemple pour $R = \dfrac{U}{I}$).

  ✓ Pour un produit ou un quotient, ce sont les incertitudes RELATIVES $\dfrac{u(U)}{U}$ et $\dfrac{u(I)}{I}$ qu'on met en quadrature, puis on revient à $u(R) = R \times \dfrac{u(R)}{R}$.

• ✗ Conclure « la mesure est fausse » dès que $\bar{x} \neq x_{\text{réf}}$.

  ✓ Deux valeurs différentes peuvent être compatibles : on calcule l'écart en nombre d'incertitudes-types $k$ ; si $k \leqslant 2$, l'écart s'explique par la dispersion des mesures.

• ✗ Donner un résultat avec trop de chiffres : $R = (48{,}0374 \pm 1{,}0483)\ \Omega$.

  ✓ On arrondit l'incertitude à 1 ou 2 chiffres significatifs puis la valeur au même rang : $R = (48{,}0 \pm 1{,}0)\ \Omega$.

• ✗ Oublier la puissance dans la composition : traiter $V = a^3$ comme si $\dfrac{u(V)}{V} = \dfrac{u(a)}{a}$.

  ✓ L'exposant multiplie l'incertitude relative : $\dfrac{u(V)}{V} = 3\,\dfrac{u(a)}{a}$. Une erreur de $1\,\%$ sur l'arête donne $3\,\%$ sur le volume.

Sais-tu répondre à ces questions ?

Les corrigés détaillés sont dans le quiz du chapitre.

1. Un résultat est calculé à partir de plusieurs grandeurs mesurées, chacune avec son incertitude-type. Comment les incertitudes se combinent-elles ?
2. Un pied à coulisse numérique a une résolution $p = 0{,}01\ \text{mm}$. Quelle est l'incertitude-type associée à une mesure unique (relation fournie : $u = \dfrac{p}{\sqrt{12}}$) ?
3. Quelle écriture d'un résultat de mesure est correcte ?
4. On mesure deux longueurs mises bout à bout : $u(a) = 0{,}3\ \text{mm}$ et $u(b) = 0{,}4\ \text{mm}$. Quelle est l'incertitude-type sur $L = a + b$ ?
5. On calcule $P = U \times I$ avec $\dfrac{u(U)}{U} = 2\,\%$ et $\dfrac{u(I)}{I} = 1{,}5\,\%$. Quelle est l'incertitude relative sur $P$ ?