Fonctions exponentielle et logarithme népérien

Les notions à connaître

Le nombre e et la fonction exponentielle

Le nombre d'Euler $e \approx 2{,}718$ est la valeur de $a$ pour laquelle la courbe de $x \mapsto a^x$ a une tangente de pente $1$ en $0$. La fonction $x \mapsto e^x$ est définie, strictement positive et strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Exemple : $e^0 = 1$, $e^1 \approx 2{,}72$, $e^{-1} \approx 0{,}37$.

Propriétés algébriques de l'exponentielle

L'exponentielle transforme les sommes en produits : $e^{a+b} = e^a \times e^b$, $e^{a-b} = \dfrac{e^a}{e^b}$, $e^{-a} = \dfrac{1}{e^a}$ et $(e^a)^n = e^{na}$. Exemple : $e^3 \times e^{-1} = e^{3-1} = e^2 \approx 7{,}39$.

Dérivées de $e^x$ et de e^(kx)

L'exponentielle est égale à sa dérivée : $(e^x)' = e^x$ ; pour $k$ réel, $(e^{kx})' = k\,e^{kx}$ (dérivation de $f(ax+b)$ vue en première). Le signe de $k$ donne le sens de variation de $x \mapsto e^{kx}$. Exemple : $f(x) = e^{-0{,}5x}$ a pour dérivée $f'(x) = -0{,}5\,e^{-0{,}5x}$, toujours négative : $f$ est strictement décroissante.

Limites et croissances comparées

$\lim\limits_{x \to -\infty} e^x = 0$ (axe des abscisses asymptote) et $\lim\limits_{x \to +\infty} e^x = +\infty$. En $+\infty$, l'exponentielle l'emporte sur toute puissance : $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^n} = +\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} x^n e^{-x} = 0$. Exemple : $\dfrac{e^x}{x^2}$ vaut déjà environ $54$ pour $x = 10$ et environ $4{,}9 \times 10^5$ pour $x = 20$.

Définition du logarithme népérien

Pour $a$ strictement positif, $\ln a$ est l'UNIQUE solution de l'équation $e^x = a$ : les fonctions exp et ln sont réciproques, $\ln(e^x) = x$ pour tout $x$ et $e^{\ln a} = a$ pour $a$ strictement positif. La fonction ln est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$. Exemple : $\ln 1 = 0$, $\ln e = 1$, $\ln 10 \approx 2{,}30$.

Propriétés algébriques du logarithme

Le logarithme transforme les produits en sommes : $\ln(ab) = \ln a + \ln b$, $\ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b$, $\ln(a^n) = n\ln a$ et $\ln\sqrt{a} = \dfrac{1}{2}\ln a$ ($a$ et $b$ strictement positifs). Exemple : $\ln 8 = \ln(2^3) = 3\ln 2 \approx 3 \times 0{,}693 = 2{,}08$.

Équations et inéquations avec exp et ln

Grâce à la stricte croissance des deux fonctions : $e^{ax} = b$ (avec $b$ strictement positif) équivaut à $ax = \ln b$ ; $\ln x = b$ équivaut à $x = e^b$ ; les inéquations se résolvent de même en conservant le sens (attention au signe de $a$ en divisant). Exemple : $e^{2x} = 5$ donne $x = \dfrac{\ln 5}{2} \approx 0{,}80$.

Lien avec le logarithme décimal

Le logarithme décimal, défini par $\log(10^n) = n$, est proportionnel au logarithme népérien : $\log x = \dfrac{\ln x}{\ln 10}$. Il sert aux échelles logarithmiques de la physique : pH, niveau sonore en décibels. Exemple : $\log 1000 = 3$ et $\ln 1000 = 3\ln 10 \approx 6{,}91$.

Les erreurs à éviter en physique-chimie et mathématiques

• ✗ Écrire $\ln(a+b) = \ln a + \ln b$.

  ✓ Le logarithme transforme les PRODUITS en sommes : $\ln(ab) = \ln a + \ln b$. Il n'existe aucune formule simple pour $\ln(a+b)$.

• ✗ Dériver $e^{kx}$ en $e^{kx}$ (oublier le facteur $k$).

  ✓ $(e^{kx})' = k\,e^{kx}$ : la dérivée de $e^{-0{,}5x}$ est $-0{,}5\,e^{-0{,}5x}$, pas $e^{-0{,}5x}$.

• ✗ Prendre le logarithme d'un nombre négatif ou nul (ex. résoudre $e^x = -2$ en écrivant $x = \ln(-2)$).

  ✓ $\ln$ n'est défini que sur $]0\,;+\infty[$ et $e^x$ est toujours strictement positif : $e^x = -2$ n'a AUCUNE solution.

• ✗ Oublier de changer le sens d'une inéquation en divisant par un nombre négatif : $-0{,}2t \leqslant \ln(0{,}1)$ donne $t \leqslant \ldots$

  ✓ En divisant par $-0{,}2$, l'inégalité change de sens : $t \geqslant \dfrac{\ln(0{,}1)}{-0{,}2} = 5\ln 10$.

• ✗ Confondre $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ avec $\ln x = \dfrac{1}{x}$, ou $\log$ avec $\ln$ dans les formules de physique.

  ✓ La dérivée de $\ln$ est $\dfrac{1}{x}$ (résultat, pas définition). En physique, pH et décibels utilisent $\log$ (base 10) : $\log x = \dfrac{\ln x}{\ln 10}$.

Sais-tu répondre à ces questions ?

Les corrigés détaillés sont dans le quiz du chapitre.

1. Quelle égalité est vraie pour tous réels $a$ et $b$ ?
2. Que vaut $\ln\left(e^5\right)$ ?
3. Quelle est la dérivée de $f(x) = e^{3x}$ ?
4. Quelle est la solution de l'équation $e^{2x} = 7$ ?
5. Quelle est la solution de l'équation $\ln x = -1$ ?