Équations différentielles

Les notions à connaître

Équation différentielle et solution

Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une FONCTION et qui fait intervenir ses dérivées ($y'$, voire $y''$). Une solution est une fonction qui, remplacée dans l'équation, donne une égalité vraie pour tout $x$. Exemple : $y(x) = e^{2x}$ est solution de $y' = 2y$ car $y'(x) = 2e^{2x} = 2y(x)$ pour tout $x$.

Vérifier qu'une fonction est solution

Méthode en 3 étapes : dériver la fonction proposée, remplacer $y$ et $y'$ dans l'équation, vérifier l'égalité pour TOUT $x$. Exemple : pour $y(x) = 5e^{-3x} + 2$ et l'équation $y' = -3y + 6$ : $y' = -15e^{-3x}$ et $-3y + 6 = -15e^{-3x} - 6 + 6 = -15e^{-3x}$ — égalité vraie, c'est une solution.

Solutions de y' = ay

Les solutions de l'équation homogène $y' = ay$ sont exactement les fonctions $y(x) = C\,e^{ax}$, où $C$ est un réel quelconque (une solution par valeur de $C$). La somme de deux solutions et le produit d'une solution par une constante sont encore solutions. Exemple : les solutions de $y' = -3y$ sont les $y(x) = C\,e^{-3x}$ ; pour $C = 4$, $y(x) = 4e^{-3x}$ vaut $4$ en $0$ et environ $0{,}2$ en $x = 1$.

Solutions de y' = ay + b

On cherche d'abord la solution particulière CONSTANTE $y_p = -\dfrac{b}{a}$ (elle vérifie $y' = 0 = a y_p + b$), puis on ajoute les solutions de l'équation homogène : $y(x) = C\,e^{ax} - \dfrac{b}{a}$. Exemple : $y' = 2y + 4$ a pour solutions $y(x) = C\,e^{2x} - 2$ (car $-\dfrac{b}{a} = -\dfrac{4}{2} = -2$).

Condition initiale et unicité

Imposer la valeur $y(x_0) = y_0$ fixe la constante $C$ : il existe UNE SEULE solution vérifiant la condition initiale (unicité admise). On remplace $x_0$ dans la solution générale et on résout en $C$. Exemple : $y' = -0{,}5y$ avec $y(0) = 8$ donne $C\,e^{0} = 8$, donc $C = 8$ et $y(x) = 8\,e^{-0{,}5x}$.

Régime permanent et comportement en l'infini

Pour $y' = ay + b$ avec $a$ négatif, toutes les solutions tendent vers la solution constante $y_p = -\dfrac{b}{a}$ quand $x \to +\infty$ : c'est le régime permanent, la partie $C\,e^{ax}$ étant le régime transitoire qui s'éteint. Exemple : pour $u' = -\dfrac{u}{RC} + \dfrac{E}{RC}$, toutes les tensions tendent vers $u_p = E$ : le condensateur se charge vers $E = 12\ \text{V}$ quelle que soit sa charge initiale.

Modèles physiques du premier ordre

Trois grands modèles STI 2D : décroissance radioactive $N' = -\lambda N$ (solution $N_0 e^{-\lambda t}$), charge d'un condensateur à travers une résistance $u' = -\dfrac{u}{RC} + \dfrac{E}{RC}$ (constante de temps $\tau = RC$), refroidissement de Newton $\theta' = -k(\theta - \theta_{\text{ext}})$. Exemple : avec $R = 10\ \text{k}\Omega$ et $C = 100\ \mu\text{F}$, $\tau = RC = 10^4 \times 10^{-4} = 1{,}0\ \text{s}$.

Méthode d'Euler

Approche numérique de la solution : à partir de $y(x_0) = y_0$ et d'un pas $h$, on avance de proche en proche avec $y_{n+1} = y_n + h \times y'_n$, où $y'_n$ se calcule via l'équation différentielle. Plus $h$ est petit, meilleure est l'approximation. Exemple : pour $y' = y$, $y(0) = 1$ et $h = 0{,}1$ : $y_1 = 1 + 0{,}1 \times 1 = 1{,}1$, puis $y_2 = 1{,}1 + 0{,}1 \times 1{,}1 = 1{,}21$.

Les erreurs à éviter en physique-chimie et mathématiques

• ✗ Écrire la solution particulière de $y' = ay + b$ comme $+\dfrac{b}{a}$ (erreur de signe).

  ✓ La solution constante vérifie $0 = a y_p + b$, donc $y_p = -\dfrac{b}{a}$. Pour $y' = -2y + 6$ : $y_p = -\dfrac{6}{-2} = 3$ (et pas $-3$).

• ✗ Oublier la constante $C$ et ne donner qu'UNE solution au lieu de toutes.

  ✓ Sans condition initiale, la réponse est une FAMILLE : $y(x) = C\,e^{ax} - \dfrac{b}{a}$ avec $C$ réel quelconque. $C$ ne se calcule que si l'énoncé impose $y(x_0)$.

• ✗ Déterminer $C$ avant d'avoir écrit la solution générale complète (en oubliant le $-\dfrac{b}{a}$).

  ✓ Ordre obligatoire : 1) solution générale $C\,e^{ax} - \dfrac{b}{a}$ ; 2) remplacer $x_0$ et $y_0$ ; 3) résoudre en $C$. Pour $y' = -2y + 6$, $y(0) = 1$ : $C + 3 = 1$ donc $C = -2$.

• ✗ Croire que la solution de $y' = ay$ est $y = e^{ax} + C$.

  ✓ La constante est MULTIPLICATIVE : $y = C\,e^{ax}$. On le vérifie : $(e^{ax} + C)' = a\,e^{ax} \neq a(e^{ax} + C)$ dès que $C \neq 0$.

• ✗ Utiliser la méthode d'Euler avec la dérivée prise au mauvais point ou oublier de recalculer $y'_n$ à chaque étape.

  ✓ À CHAQUE pas, on recalcule $y'_n$ avec l'équation différentielle au point courant : pour $y' = -y$, $y_0 = 2$, $h = 0{,}5$ : $y_1 = 2 + 0{,}5 \times (-2) = 1$, puis $y_2 = 1 + 0{,}5 \times (-1) = 0{,}5$.

Sais-tu répondre à ces questions ?

Les corrigés détaillés sont dans le quiz du chapitre.

1. Quelles sont toutes les solutions de l'équation différentielle $y' = 3y$ ?
2. La fonction $y(t) = 5\,e^{-2t}$ est-elle solution de l'équation $y' = -2y$ ?
3. Vers quelle valeur tendent toutes les solutions de $y' = -0{,}5y + 4$ quand $x$ tend vers $+\infty$ ?
4. Quelle est LA solution de $y' = -2y + 6$ vérifiant $y(0) = 1$ ?
5. Une population de noyaux radioactifs suit $N' = -\lambda N$ avec $\lambda = 0{,}2\ \text{jour}^{-1}$ et $N(0) = 1000$. Combien reste-t-il de noyaux au bout de $5$ jours ?