Composition de fonctions et calcul intégral

Les notions à connaître

Composée de deux fonctions

La composée $v \circ u$ applique d'abord $u$ puis $v$ : $(v \circ u)(x) = v(u(x))$. Savoir DÉCOMPOSER une expression en fonctions simples est la clé des dérivées et primitives. Exemple : $h(x) = e^{x^2}$ est la composée $v \circ u$ avec $u(x) = x^2$ puis $v(x) = e^x$, donc $h(3) = e^9 \approx 8100$.

Dérivée d'une composée

$(v \circ u)' = u' \times (v' \circ u)$ : on dérive la fonction extérieure au point $u(x)$ et on multiplie par la dérivée intérieure $u'(x)$. Exemple : pour $h(x) = e^{x^2}$, $h'(x) = 2x\,e^{x^2}$, donc $h'(1) = 2e \approx 5{,}44$.

Dérivées composées usuelles

Quatre formules à connaître par cœur : $\left(u^n\right)' = n\,u'\,u^{n-1}$, $(e^u)' = u'\,e^u$, $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$ (pour $u$ strictement positive), $(\cos u)' = -u'\sin u$ et $(\sin u)' = u'\cos u$. Exemple : $\left(\ln(3x+1)\right)' = \dfrac{3}{3x+1}$, qui vaut $\dfrac{3}{4}$ en $x = 1$.

Primitives des formes composées

En lisant les dérivées à l'envers : une primitive de $u'u^n$ est $\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$ (pour $n \neq -1$), de $\dfrac{u'}{u}$ est $\ln u$ ($u$ strictement positive), de $u'e^u$ est $e^u$, de $u'\cos u$ est $\sin u$ et de $u'\sin u$ est $-\cos u$ ; une primitive de $f(ax+b)$ est $\dfrac{1}{a}F(ax+b)$. Exemple : une primitive de $2x\,e^{x^2}$ est $e^{x^2}$ (on reconnaît $u'e^u$ avec $u = x^2$).

Intégrale et aire sous la courbe

Pour $f$ positive sur $[a\,;b]$, $\int_a^b f(x)\,dx$ est l'aire sous la courbe (en unités d'aire), approchable par la méthode des rectangles : $\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x_i$. Pour $f$ négative, l'intégrale est négative (aire comptée algébriquement), et $\int_a^b = -\int_b^a$ si $a$ est supérieur à $b$. Exemple : $\int_0^1 x\,dx = \dfrac{1}{2}$, aire du triangle sous la droite $y = x$.

Calcul avec une primitive

Si $F$ est une primitive de $f$ sur $[a\,;b]$, alors $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$, noté $\left[F(x)\right]_a^b$. La fonction $F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ est la primitive de $f$ qui s'annule en $a$. Exemple : $\int_0^1 e^x\,dx = \left[e^x\right]_0^1 = e - 1 \approx 1{,}72$.

Propriétés de l'intégrale

Linéarité : $\int_a^b (\alpha f + \beta g) = \alpha\int_a^b f + \beta\int_a^b g$ ; positivité : si $f \geqslant 0$ sur $[a\,;b]$ alors l'intégrale est positive ; croissance : si $f \leqslant g$ alors $\int_a^b f \leqslant \int_a^b g$ ; relation de Chasles : $\int_a^c = \int_a^b + \int_b^c$. Exemple : $\int_0^2 x^2\,dx = \int_0^1 x^2\,dx + \int_1^2 x^2\,dx = \dfrac{1}{3} + \dfrac{7}{3} = \dfrac{8}{3}$.

Valeur moyenne et aire entre deux courbes

La valeur moyenne de $f$ sur $[a\,;b]$ est $\mu = \dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$ : c'est la hauteur du rectangle de base $b-a$ ayant la même aire que celle sous la courbe. Si $f \geqslant g$ sur $[a\,;b]$, l'aire entre les deux courbes vaut $\int_a^b \left(f(x) - g(x)\right)dx$. Exemple : la valeur moyenne de $x^2$ sur $[0\,;3]$ vaut $\dfrac{1}{3}\int_0^3 x^2\,dx = \dfrac{1}{3} \times 9 = 3$.

Les erreurs à éviter en physique-chimie et mathématiques

• ✗ Oublier le facteur $u'$ en dérivant une composée : écrire $(e^{x^2})' = e^{x^2}$.

  ✓ $(e^u)' = u'e^u$ : la dérivée de $e^{x^2}$ est $2x\,e^{x^2}$. Sans le $2x$, la dérivée est fausse.

• ✗ « Inventer » le $u'$ manquant dans une primitive : primitiver $e^{x^2}$ en $\dfrac{e^{x^2}}{2x}$.

  ✓ On ne peut diviser que par une CONSTANTE, jamais par une fonction de $x$. $e^{x^2}$ n'a pas de primitive exprimable avec les fonctions usuelles ; en revanche $x\,e^{x^2}$ se primitive en $\dfrac{1}{2}e^{x^2}$ (le $u' = 2x$ y est à un facteur $2$ près).

• ✗ Oublier le facteur $\dfrac{1}{a}$ dans la primitive de $f(ax+b)$ : primitiver $\cos(2x)$ en $\sin(2x)$.

  ✓ Une primitive de $\cos(2x)$ est $\dfrac{1}{2}\sin(2x)$ : on divise par le coefficient de $x$ (vérification en dérivant : $\left(\frac{1}{2}\sin 2x\right)' = \cos 2x$).

• ✗ Écrire $\int_a^b f(x)\,dx = F(a) - F(b)$ (bornes dans le mauvais sens).

  ✓ C'est $F(b) - F(a)$ : borne du HAUT d'abord. Un moyen mnémotechnique : « arrivée moins départ ».

• ✗ Confondre intégrale et aire quand $f$ change de signe.

  ✓ L'intégrale est une aire ALGÉBRIQUE : $\int_0^{2\pi} \sin x\,dx = 0$ alors que l'aire géométrique vaut $4$. On découpe avec Chasles là où $f$ s'annule et on prend les valeurs absolues.

Sais-tu répondre à ces questions ?

Les corrigés détaillés sont dans le quiz du chapitre.

1. Quelle est la dérivée de $f(x) = e^{2x+1}$ ?
2. Que vaut $\int_0^1 2x\,dx$ ?
3. La fonction $h(x) = \ln\left(x^2+1\right)$ est la composée $v \circ u$. Quelles sont les fonctions $u$ et $v$ ?
4. Quelle est une primitive de $f(x) = \dfrac{3}{3x+2}$ sur $\left]-\dfrac{2}{3}\,;+\infty\right[$ ?
5. Que vaut $\int_0^{\pi/2} \cos x\,dx$ ?