Ondes et signaux : spectres, sons et ondes électromagnétiques

Les notions à connaître

Spectre d'amplitude d'un signal périodique

Représentation donnant l'amplitude de chaque composante sinusoïdale du signal en fonction de sa fréquence : tout signal périodique est la somme d'une composante continue et de sinusoïdes. Le spectre seul ne suffit pas à caractériser le signal : deux signaux de formes différentes peuvent avoir le même spectre d'amplitude (les phases diffèrent). Exemple : un signal carré de fréquence $100\ \text{Hz}$ contient des raies à $100$, $300$, $500\ \text{Hz}$ (harmoniques impairs) d'amplitudes décroissantes.

Composante continue

Valeur moyenne du signal, représentée dans le spectre par la raie à fréquence NULLE. Un signal de valeur moyenne nulle n'a pas de raie à l'origine. Exemple : la sortie d'un capteur oscillant entre $1\ \text{V}$ et $3\ \text{V}$ a une composante continue de $2\ \text{V}$, lue à $f = 0$ dans son spectre.

Fondamental et harmoniques

Le fondamental est la composante sinusoïdale à la fréquence $f_1$ du signal périodique ; les harmoniques sont les composantes aux fréquences multiples $f_n = n \times f_1$, où l'entier $n = \dfrac{f_n}{f_1}$ est le rang de l'harmonique (le fondamental est l'harmonique de rang 1). Exemple : dans le spectre d'une corde de guitare jouant un la à $f_1 = 220\ \text{Hz}$, la raie à $660\ \text{Hz}$ est l'harmonique de rang $3$.

Intervalle de fréquences pour transmettre un signal

Pour transmettre un signal comportant un ensemble d'harmoniques choisis sans trop le déformer, le canal doit laisser passer toutes les fréquences entre la plus basse et la plus haute composante utile. Exemple : conserver le fondamental $200\ \text{Hz}$ et les harmoniques jusqu'au rang $5$ impose un canal couvrant l'intervalle $[200\ \text{Hz}\,;1000\ \text{Hz}]$.

Son pur, son complexe, hauteur et timbre

Un son pur est une sinusoïde unique ; un son complexe contient un fondamental et des harmoniques. La HAUTEUR d'un son $(grave/aigu)$ est la fréquence de son fondamental ; le TIMBRE, qui distingue deux instruments jouant la même note, dépend des amplitudes relatives des harmoniques. Exemple : un piano et un violon jouant le la à $440\ \text{Hz}$ ont la même hauteur mais des spectres — donc des timbres — différents.

Intensité acoustique et niveau sonore

L'intensité acoustique $I$ est la puissance sonore reçue par unité de surface (en $\text{W}\cdot\text{m}^{-2}$) ; le niveau sonore en décibels vaut $L = 10\log\dfrac{I}{I_0}$ avec $I_0 = 10^{-12}\ \text{W}\cdot\text{m}^{-2}$ (seuil d'audibilité). Doubler l'intensité ajoute $3\ \text{dB}$ ; la multiplier par $10$ ajoute $10\ \text{dB}$. Exemple : $I = 10^{-5}\ \text{W}\cdot\text{m}^{-2}$ donne $L = 10\log(10^{7}) = 70\ \text{dB}$, niveau d'une rue animée.

Sensibilité de l'oreille et protection auditive

L'oreille humaine perçoit les fréquences d'environ $20\ \text{Hz}$ à $20\ \text{kHz}$, avec une sensibilité maximale vers $1$ à $5\ \text{kHz}$ ; le seuil d'audibilité est proche de $0\ \text{dB}$ et le seuil de douleur d'environ $120\ \text{dB}$ ; l'exposition prolongée au-delà de $80\ \text{dB}$ impose une protection (réglementation au travail). Exemple : un casque antibruit atténuant de $25\ \text{dB}$ ramène un atelier de $98\ \text{dB}$ à $73\ \text{dB}$.

Ondes électromagnétiques et télécommunications

Chaque service radio occupe un domaine de fréquences (transposition fréquentielle : chaque information est décalée autour d'une porteuse différente pour partager le même milieu) ; la longueur d'onde $\lambda = \dfrac{c}{f}$ fixe la dimension des antennes, de l'ordre de $\dfrac{\lambda}{4}$ à $\dfrac{\lambda}{2}$. Exemple : le wifi à $f = 2{,}4\ \text{GHz}$ a $\lambda = \dfrac{3{,}0 \times 10^8}{2{,}4 \times 10^9} = 12{,}5\ \text{cm}$, d'où des antennes de quelques centimètres.

Les erreurs à éviter en physique-chimie et mathématiques

• ✗ Additionner les niveaux sonores : « deux machines de 80 dB font 160 dB ».

  ✓ On additionne les INTENSITÉS, pas les décibels : deux sources identiques doublent $I$, soit $+3\ \text{dB}$ : $80 + 3 = 83\ \text{dB}$.

• ✗ Confondre la hauteur et le timbre d'un son.

  ✓ La hauteur est la fréquence du fondamental (note jouée) ; le timbre vient des amplitudes relatives des harmoniques (il distingue piano et violon sur la même note).

• ✗ Chercher la composante continue dans une raie à la fréquence du signal.

  ✓ La composante continue est la valeur moyenne du signal : elle se lit à la fréquence NULLE ($f = 0$) du spectre d'amplitude.

• ✗ Prendre le rang d'un harmonique pour sa fréquence (« l'harmonique 3 est à 3 Hz »).

  ✓ Le rang est le multiplicateur : l'harmonique de rang $3$ d'un fondamental à $220\ \text{Hz}$ est à $f_3 = 3 \times 220 = 660\ \text{Hz}$.

• ✗ Croire que le spectre d'amplitude détermine complètement la forme du signal.

  ✓ Deux signaux de formes différentes peuvent avoir le même spectre d'amplitude : il manque l'information de phase des composantes.

Sais-tu répondre à ces questions ?

Les corrigés détaillés sont dans le quiz du chapitre.

1. Qu'est-ce qui détermine la hauteur d'un son complexe ?
2. Quelle est la longueur d'onde dans l'air d'une onde électromagnétique de fréquence $f = 3{,}0\ \text{GHz}$ ? Donnée : $c = 3{,}0 \times 10^8\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$.
3. Quel est le niveau sonore correspondant à une intensité acoustique $I = 10^{-6}\ \text{W}\cdot\text{m}^{-2}$ ? Donnée : $I_0 = 10^{-12}\ \text{W}\cdot\text{m}^{-2}$.
4. Le spectre d'un signal périodique de fondamental $f_1 = 150\ \text{Hz}$ présente une raie à $750\ \text{Hz}$. Quel est le rang de cet harmonique ?
5. Une machine seule produit un niveau sonore de $74\ \text{dB}$ à un poste de travail. Quel niveau produisent deux machines identiques fonctionnant ensemble ?