Nombres complexes : forme exponentielle et applications

Les notions à connaître

Exponentielle complexe (formule d'Euler)

Pour tout réel $\theta$, on pose $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ : c'est un nombre complexe de module $1$ situé sur le cercle trigonométrique. Les propriétés de l'exponentielle réelle s'étendent : $e^{i\theta} \times e^{i\theta'} = e^{i(\theta+\theta')}$. Exemple : $e^{i\pi} = \cos\pi + i\sin\pi = -1$ et $e^{i\pi/2} = i$.

Forme exponentielle d'un nombre complexe

Tout complexe non nul s'écrit $z = r\,e^{i\theta}$ avec $r = |z|$ strictement positif (module) et $\theta$ un argument de $z$. Passage depuis la forme algébrique : $r = \sqrt{a^2+b^2}$, puis $\cos\theta = \dfrac{a}{r}$ et $\sin\theta = \dfrac{b}{r}$. Exemple : $z = 1 + i$ donne $r = \sqrt{2}$ et $\theta = \dfrac{\pi}{4}$, soit $z = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$.

Produits, quotients et puissances en forme exponentielle

Les modules se multiplient et les arguments s'ajoutent : $r e^{i\theta} \times r' e^{i\theta'} = r r'\,e^{i(\theta + \theta')}$ ; pour un quotient, les modules se divisent et les arguments se soustraient ; pour une puissance, $\left(r e^{i\theta}\right)^n = r^n e^{in\theta}$. Exemple : $2e^{i\pi/6} \times 3e^{i\pi/3} = 6\,e^{i\pi/2} = 6i$.

Formules d'addition et de duplication

En développant $e^{i(a+b)} = e^{ia}e^{ib}$ on obtient : $\cos(a+b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b$ et $\sin(a+b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b$ ; avec $a = b$ : $\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$ et $\sin(2a) = 2\sin a\cos a$. Exemple : $\cos\dfrac{\pi}{3} = 1 - 2\sin^2\dfrac{\pi}{6} = 1 - 2 \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}$.

Linéarisation de co$s^2$ et si$n^2$

En inversant les formules de duplication : $\cos^2\theta = \dfrac{1 + \cos(2\theta)}{2}$ et $\sin^2\theta = \dfrac{1 - \cos(2\theta)}{2}$. Indispensable pour PRIMITIVER les carrés de sinusoïdes (puissance dissipée en électricité). Exemple : $\int_0^{\pi} \sin^2\theta\,d\theta = \int_0^{\pi} \dfrac{1 - \cos(2\theta)}{2}\,d\theta = \dfrac{\pi}{2}$.

Transformation $a\cdot$ cos$(\omega t) + b\cdot$ sin$(\omega t) = A\cdot$ cos$(\omega t + \varphi )$

La somme de deux sinusoïdes de même fréquence est une sinusoïde de même fréquence : $a\cos(\omega t) + b\sin(\omega t) = A\cos(\omega t + \varphi)$ avec $A = \sqrt{a^2 + b^2}$, $\cos\varphi = \dfrac{a}{A}$ et $\sin\varphi = -\dfrac{b}{A}$ (identification via la formule d'addition). Exemple : $\cos(\omega t) + \sin(\omega t) = \sqrt{2}\cos\left(\omega t - \dfrac{\pi}{4}\right)$, d'amplitude $\sqrt{2} \approx 1{,}41$.

Équations dans C : premier degré et $z^2 = a$

Une équation du premier degré $\alpha z + \beta = 0$ se résout comme dans $\mathbb{R}$ : $z = -\dfrac{\beta}{\alpha}$ (calcul avec conjugué si besoin). Pour $z^2 = a$ avec $a$ réel : si $a$ est positif, $z = \pm\sqrt{a}$ ; si $a$ est négatif, $z = \pm i\sqrt{|a|}$ — dans $\mathbb{C}$, tout réel a des racines carrées. Exemple : $z^2 = -9$ a pour solutions $z = 3i$ et $z = -3i$.

Transformations géométriques et écriture complexe

L'application $z \mapsto z + b$ est la TRANSLATION de vecteur d'affixe $b$ ; $z \mapsto az$ est une HOMOTHÉTIE de centre O et de rapport $a$ quand $a$ est un réel non nul, et une ROTATION de centre O et d'angle $\theta$ quand $a = e^{i\theta}$ (module 1). Exemple : $z \mapsto iz$ est la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ : le point d'affixe $2$ est envoyé sur le point d'affixe $2i$.

Les erreurs à éviter en physique-chimie et mathématiques

• ✗ Écrire une forme exponentielle avec un « module » négatif : $-2e^{i\pi/3}$.

  ✓ Dans $z = r\,e^{i\theta}$, $r$ doit être strictement positif. On absorbe le signe dans l'argument : $-2e^{i\pi/3} = 2e^{i(\pi/3 + \pi)} = 2e^{i4\pi/3}$.

• ✗ Multiplier les arguments dans un produit : $\arg(zz') = \arg z \times \arg z'$.

  ✓ Les arguments s'AJOUTENT : $\arg(zz') = \arg z + \arg z'$ (et les modules se multiplient). C'est tout l'intérêt de la forme exponentielle.

• ✗ Conclure que $z^2 = -25$ n'a pas de solution (réflexe du second degré réel).

  ✓ Dans $\mathbb{C}$, $z^2 = -25$ a deux solutions : $z = 5i$ et $z = -5i$ (car $(5i)^2 = 25i^2 = -25$).

• ✗ Primitiver $\cos^2 t$ en $\dfrac{\cos^3 t}{3}$ ou en $\dfrac{\sin^2 t}{2}$.

  ✓ On LINÉARISE d'abord : $\cos^2 t = \dfrac{1 + \cos 2t}{2}$, dont une primitive est $\dfrac{t}{2} + \dfrac{\sin 2t}{4}$.

• ✗ Se tromper de signe sur la phase : écrire $\cos\omega t + \sin\omega t = \sqrt{2}\cos\left(\omega t + \dfrac{\pi}{4}\right)$.

  ✓ Avec $a = b = 1$ : $\sin\varphi = -\dfrac{b}{A}$ est négatif, donc $\varphi = -\dfrac{\pi}{4}$ : $\cos\omega t + \sin\omega t = \sqrt{2}\cos\left(\omega t - \dfrac{\pi}{4}\right)$. Vérifie en développant avec la formule d'addition.

Sais-tu répondre à ces questions ?

Les corrigés détaillés sont dans le quiz du chapitre.

1. Que vaut $e^{i\pi/2}$ ?
2. Quel est le module du nombre complexe $z = 4\,e^{-i\pi/3}$ ?
3. Quelle est la forme exponentielle de $z = 1 + i$ ?
4. Calculer le produit $z = 2\,e^{i\pi/4} \times 5\,e^{i\pi/4}$.
5. Quelles sont les solutions dans $\mathbb{C}$ de l'équation $z^2 = -25$ ?