Ensembles de nombres et calculs

Les notions à connaître

Entiers naturels ℕ

Nombres entiers positifs : $0,\; 1,\; 2,\; 3, \ldots$ On note $\mathbb{N}$.

Entiers relatifs ℤ

Entiers positifs et négatifs : $\ldots,\; -2,\; -1,\; 0,\; 1,\; 2, \ldots$ On note $\mathbb{Z}$.

Nombres rationnels ℚ

Nombres qui s'écrivent sous forme de fraction $\frac{a}{b}$ avec $a \in \mathbb{Z}$ et $b \in \mathbb{Z}^*$. Leur écriture décimale est finie ou périodique.

Nombres réels ℝ

Tous les nombres représentables sur une droite graduée (rationnels + irrationnels). On note $\mathbb{R}$.

Nombre irrationnel

Nombre réel qui ne peut pas s'écrire sous forme de fraction. Exemples : $\sqrt{2}$, $\pi$, $\sqrt{3}$. Leur écriture décimale est infinie et non périodique.

Intervalle

Sous-ensemble de $\mathbb{R}$ : $[a\,;b]$ (fermé), $]a\,;b[$ (ouvert), $[a\,;+\infty[$ (semi-ouvert). $x \in [a\,;b]$ signifie $a \leq x \leq b$.

Les erreurs à éviter en mathématiques

• ✗ Écrire $a^n \times a^m = a^{n \times m}$.

  ✓ On ADDITIONNE les exposants : $a^n \times a^m = a^{n+m}$. Le produit des exposants, c'est $(a^n)^m = a^{n \times m}$.

• ✗ Additionner des fractions en additionnant numérateurs et dénominateurs : $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{2}{5}$.

  ✓ Il faut un dénominateur commun : $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$.

• ✗ Penser que $\sqrt{4}$ est irrationnel.

  ✓ $\sqrt{4} = 2 \in \mathbb{N}$ : une racine carrée peut être rationnelle si le nombre est un carré parfait.

• ✗ Écrire $\sqrt{a^2} = a$.

  ✓ $\sqrt{a^2} = |a|$. Si $a = -3$ alors $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 = |-3|$.

Sais-tu répondre à ces questions ?

Les corrigés détaillés sont dans le quiz du chapitre.

1. Le nombre $\sqrt{2}$ appartient à quel ensemble ?
2. Quel est le résultat de $\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{6}$ ?
3. Le nombre $-3$ appartient à :
4. Quelle est l'écriture scientifique de $0{,}00045$ ?
5. Simplifier : $\dfrac{2^5 \times 2^3}{2^6}$