Droites et systèmes d'équations

Les notions à connaître

Équation réduite d'une droite

$y = mx + p$, où $m$ est le coefficient directeur et $p$ l'ordonnée à l'origine. Toute droite non verticale admet une telle écriture.

Coefficient directeur

$m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ pour deux points $A$ et $B$ de la droite ($x_A \neq x_B$). C'est la pente : si $m > 0$ la droite monte, si $m < 0$ elle descend.

Ordonnée à l'origine

$p = f(0)$ : c'est le $y$ du point où la droite coupe l'axe des ordonnées.

Équation cartésienne

$ax + by + c = 0$ avec $a$ et $b$ non tous deux nuls. Un vecteur directeur est $\vec{u}\binom{-b}{a}$ et un vecteur normal est $\vec{n}\binom{a}{b}$.

Droites parallèles

Deux droites non verticales sont parallèles $\iff$ elles ont le même coefficient directeur : $m_1 = m_2$.

Système d'équations

Ensemble de deux équations à deux inconnues $(x, y)$. Résoudre = trouver le couple $(x, y)$ vérifiant les deux simultanément.

Les erreurs à éviter en mathématiques

• ✗ Inverser numérateur et dénominateur : $m = \frac{x_B - x_A}{y_B - y_A}$.

  ✓ $m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$. Le $y$ est en haut, le $x$ en bas.

• ✗ Oublier de reporter la valeur trouvée dans l'AUTRE équation.

  ✓ Après avoir trouvé $x$ par substitution, remplace dans l'équation que tu n'as PAS transformée pour trouver $y$.

• ✗ Conclure qu'un système n'a pas de solution quand on trouve $0 = 0$.

  ✓ $0 = 0$ signifie droites confondues : infinité de solutions. C'est $0 = k$ ($k \neq 0$) qui signifie aucune solution (droites parallèles distinctes).

Sais-tu répondre à ces questions ?

Les corrigés détaillés sont dans le quiz du chapitre.

1. L'équation réduite d'une droite de pente $2$ passant par l'origine est :
2. Deux droites de pentes respectives $3$ et $3$ sont :
3. L'ordonnée à l'origine de la droite $y = -3x + 7$ est :
4. La droite passant par $A(1\,;\,3)$ et $B(4\,;\,9)$ a pour coefficient directeur :
5. Résoudre le système $\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$.