Inéquations et intervalles

Les notions à connaître

Inéquation

Inégalité contenant une inconnue. Résoudre = trouver toutes les valeurs de l'inconnue qui la vérifient. L'ensemble des solutions est un intervalle ou une réunion d'intervalles.

Intervalle

Ensemble de tous les réels compris entre deux bornes. Notation : $[a\,;b]$, $]a\,;b[$, $[a\,;+\infty[$, $]-\infty\,;b]$, etc.

Réunion d'intervalles

Ensemble des réels appartenant à l'un OU l'autre intervalle. Notation : $A \cup B$. Ex : $]-\infty\,;-1] \cup [3\,;+\infty[$.

Intersection d'intervalles

Ensemble des réels appartenant à l'un ET l'autre intervalle. Notation : $A \cap B$. Ex : $[1\,;5] \cap [3\,;7] = [3\,;5]$.

Tableau de signes

Tableau qui résume le signe d'une expression en fonction de $x$. On y place les valeurs qui annulent chaque facteur, puis on détermine le signe de chaque facteur et du $produit/quotient.$

Les erreurs à éviter en mathématiques

• ✗ Oublier de changer le sens de l'inégalité en divisant par un négatif.

  ✓ Si tu divises par $-2$, le $\leq$ devient $\geq$. Toujours.

• ✗ Écrire $[3\,;+\infty]$ avec un crochet fermé sur $+\infty$.

  ✓ $+\infty$ n'est pas un nombre, donc toujours un crochet ouvert : $[3\,;+\infty[$.

• ✗ Confondre $\cup$ (réunion = OU) et $\cap$ (intersection = ET).

  ✓ $\cup$ = les deux ensembles réunis ; $\cap$ = ce qu'ils ont en commun.

• ✗ Dans un tableau de signes, oublier que le quotient est interdit quand le dénominateur est nul.

  ✓ Le dénominateur nul donne une valeur interdite (double barre dans le tableau), pas une solution.

Sais-tu répondre à ces questions ?

Les corrigés détaillés sont dans le quiz du chapitre.

1. L'intervalle $[-3\,;\,5[$ contient-il le nombre $5$ ?
2. Résoudre $3x - 7 > 2$.
3. Comment s'écrit en intervalle : $x \geq -2$ ?
4. Résoudre $-2x + 4 \leq 10$.
5. Quelle est l'intersection de $[-1\,;\,4]$ et $[2\,;\,7]$ ?