MathématiquesChapitre 4

Notion de fonction

L'essentiel en 30 secondes

Une fonction associe à chaque nombre $x$ de son ensemble de définition un unique nombre $f(x)$. Tu dois savoir passer d'une représentation à une autre : formule, courbe, tableau de valeurs. Lire une courbe, c'est savoir déterminer des images, des antécédents, le sens de variation et les extremums. Un tableau de variations résume tout le comportement de la fonction.

Les notions à connaître

Fonction: Relation qui à tout $x$ d'un ensemble de départ $D_f$ associe un unique réel $f(x)$ . On note $f : x \mapsto f(x)$ .
Image: $f(a)$ est l'image de $a$ par $f$ . Sur la courbe : on part de $x = a$ , on $monte/descend$ jusqu'à la courbe, on lit $y$ .
Antécédent: $a$ est un antécédent de $b$ par $f$ si $f(a) = b$ . Un nombre peut avoir 0, 1 ou plusieurs antécédents.
Ensemble de définition: Ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ existe, noté $D_f$ . Ex : pour $f(x) = \frac{1}{x}$ , $D_f = \mathbb{R}^*$ .
Fonction croissante sur I: Pour tous $a, b \in I$ : si $a \leq b$ alors $f(a) \leq f(b)$ . La courbe « monte ».
Fonction décroissante sur I: Pour tous $a, b \in I$ : si $a \leq b$ alors $f(a) \geq f(b)$ . La courbe « descend ».
Maximum / Minimum: $M$ est le maximum de $f$ sur $I$ s'il existe $a \in I$ tel que $f(a) = M$ et pour tout $x \in I$ , $f(x) \leq M$ .
Parité: $f$ paire si $f(-x) = f(x)$ (symétrie / axe $Oy$ ). $f$ impaire si $f(-x) = -f(x)$ (symétrie / origine $O$ ).

Les erreurs à éviter en mathématiques

Confondre image et antécédent.
Image : on connaît $x$ , on cherche $y = f(x)$ . Antécédent : on connaît $y$ , on cherche $x$ .
Dire qu'une fonction est croissante parce que $f(3) > f(1)$ , sans vérifier tout l'intervalle.
Croissante sur $I$ signifie que c'est vrai pour TOUS les couples $(a,b)$ avec $a \leq b$ dans $I$ .
Confondre $f(a+b)$ et $f(a) + f(b)$ .
En général $f(a+b) \neq f(a) + f(b)$ . Ex : $(1+2)^2 = 9 \neq 1^2 + 2^2 = 5$ .
Lire le maximum sur l'axe des $x$ au lieu de l'axe des $y$ .
Le maximum est une valeur de $f(x)$ (axe $y$ ). L'abscisse du maximum est sur l'axe $x$ .

Sais-tu répondre à ces questions ?

Les corrigés détaillés sont dans le quiz du chapitre.

Si $f(x) = 3x - 1$ , que vaut $f(2)$ ?
Sur un graphique, l'image de $3$ par $f$ se lit :
L'ensemble de définition de $f(x) = \dfrac{1}{x-2}$ est :
Si $f$ est croissante sur $[1\,;\,5]$ et $f(1) = -2$ , $f(5) = 6$ , alors pour tout $x \in [1\,;\,5]$ :
Résoudre graphiquement $f(x) = 0$ revient à chercher :

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