MathématiquesChapitre 5

Fonctions de référence : carré, inverse, cube, racine

L'essentiel en 30 secondes

Les quatre fonctions de référence sont tes outils de base. Tu dois connaître par cœur leur formule, leur ensemble de définition, leur sens de variation et l'allure de leur courbe. La fonction carré $f(x) = x^2$ donne une parabole, la fonction inverse $f(x) = \frac{1}{x}$ une hyperbole, la fonction cube $f(x) = x^3$ une courbe en S, et la racine carrée $f(x) = \sqrt{x}$ une demi-courbe partant de l'origine.

Les notions à connaître

Fonction carré: $f(x) = x^2$ , définie sur $\mathbb{R}$ . Décroissante sur $]-\infty\,;0]$ , croissante sur $[0\,;+\infty[$ . Minimum $0$ en $x = 0$ . Courbe : parabole, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (fonction paire).
Fonction inverse: $f(x) = \frac{1}{x}$ , définie sur $\mathbb{R}^*$ . Décroissante sur $]-\infty\,;0[$ et décroissante sur $]0\,;+\infty[$ (séparément !). Courbe : hyperbole, symétrique par rapport à $O$ (fonction impaire).
Fonction cube: $f(x) = x^3$ , définie sur $\mathbb{R}$ . Strictement croissante sur $\mathbb{R}$ . Courbe en S, symétrique par rapport à $O$ (fonction impaire).
Fonction racine carrée: $f(x) = \sqrt{x}$ , définie sur $[0\,;+\infty[$ . Strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$ . Courbe qui part de $O$ et croît de plus en plus lentement.
Fonction valeur absolue: $f(x) = |x|$ , définie sur $\mathbb{R}$ . $|x| = x$ si $x \geq 0$ et $|x| = -x$ si $x < 0$ . Courbe en V, sommet à l'origine.

Les erreurs à éviter en mathématiques

Écrire que la fonction inverse est décroissante sur $\mathbb{R}^*$ .
Elle est décroissante sur $]-\infty\,;0[$ et décroissante sur $]0\,;+\infty[$ , séparément. On ne peut pas comparer $f(-1)$ et $f(1)$ par variation.
Écrire $\sqrt{a+b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ .
FAUX ! $\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5 \neq 3 + 4 = 7$ . La racine ne distribue que sur le produit et le quotient.
Oublier la solution négative de $x^2 = a$ .
$x^2 = 9$ donne $x = 3$ OU $x = -3$ . Il y a toujours deux solutions (si $a > 0$ ).
Comparer $\frac{1}{-2}$ et $\frac{1}{3}$ en disant « $-2 < 3$ donc $\frac{1}{-2} > \frac{1}{3}$ ».
La règle de l'inverse ne marche qu'avec des nombres de même signe. Ici $\frac{1}{-2} = -0{,}5 < \frac{1}{3}$ .

Sais-tu répondre à ces questions ?

Les corrigés détaillés sont dans le quiz du chapitre.

La fonction carré $f(x) = x^2$ est :
La fonction inverse $f(x) = \dfrac{1}{x}$ est définie sur :
Que vaut $\sqrt{49}$ ?
Comparer $(-3)^2$ et $(-5)^2$ sans calculer, en utilisant les variations de la fonction carré.
La fonction cube $f(x) = x^3$ est :

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