Vecteurs du plan

Les notions à connaître

Vecteur

Objet mathématique caractérisé par sa direction, son sens et sa norme (longueur). $\overrightarrow{AB}$ est le vecteur allant de $A$ vers $B$.

Coordonnées d'un vecteur

Si $A(x_A\,;y_A)$ et $B(x_B\,;y_B)$, alors $\overrightarrow{AB}\binom{x_B - x_A}{y_B - y_A}$.

Vecteurs égaux

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ ssi ils ont même direction, même sens et même norme, c.-à-d. mêmes coordonnées.

Vecteurs colinéaires

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s'il existe $k \in \mathbb{R}$ tel que $\vec{v} = k\vec{u}$ (ou si $\vec{u} = \vec{0}$). Critère : déterminant nul.

Norme d'un vecteur

$\|\overrightarrow{AB}\| = AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$.

Milieu d'un segment

$I$ milieu de $[AB]$ : $I\left(\frac{x_A + x_B}{2}\,;\frac{y_A + y_B}{2}\right)$, ou encore $\overrightarrow{AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.

Les erreurs à éviter en mathématiques

• ✗ Inverser le sens : écrire $\overrightarrow{AB} = \binom{x_A - x_B}{y_A - y_B}$.

  ✓ C'est toujours arrivée $-$ départ : $\overrightarrow{AB} = \binom{x_B - x_A}{y_B - y_A}$.

• ✗ Confondre colinéaires et égaux.

  ✓ Colinéaires = même direction (parallèles, pas forcément même sens ni même norme). Égaux = mêmes coordonnées.

• ✗ Se tromper dans l'ordre du parallélogramme : $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ au lieu de $\overrightarrow{DC}$.

  ✓ Pour $ABCD$ parallélogramme, il faut $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ (côtés opposés et parallèles).

• ✗ Calculer le déterminant $xy' + x'y$ au lieu de $xy' - x'y$.

  ✓ Moyen mnémo : « croix en Z » = $xy' - x'y$, le signe $-$ est essentiel.

Sais-tu répondre à ces questions ?

Les corrigés détaillés sont dans le quiz du chapitre.

1. Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont égaux si et seulement si :
2. Si $A(1\,;\,3)$ et $B(4\,;\,7)$, quelles sont les coordonnées de $\vec{AB}$ ?
3. Que représente $\vec{AB} + \vec{BC}$ ?
4. Si $\vec{u}(2\,;\,-1)$ et $\vec{v}(-4\,;\,2)$, alors $\vec{v}$ est égal à :
5. Le milieu $M$ de $[A(2\,;\,6)\,;\,B(8\,;\,2)]$ a pour coordonnées :