MathématiquesChapitre 6

Vecteurs du plan

L'essentiel en 30 secondes

Un vecteur $\overrightarrow{AB}$ représente un déplacement de $A$ vers $B$ : il a une direction, un sens et une longueur (norme). Les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ sont $(x_B - x_A\,; y_B - y_A)$. Deux vecteurs sont colinéaires si leur déterminant est nul. La relation de Chasles $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ est ton outil principal pour simplifier les sommes de vecteurs.

Les notions à connaître

Vecteur: Objet mathématique caractérisé par sa direction, son sens et sa norme (longueur). $\overrightarrow{AB}$ est le vecteur allant de $A$ vers $B$ .
Coordonnées d'un vecteur: Si $A(x_A\,;y_A)$ et $B(x_B\,;y_B)$ , alors $\overrightarrow{AB}\binom{x_B - x_A}{y_B - y_A}$ .
Vecteurs égaux: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ ssi ils ont même direction, même sens et même norme, c.-à-d. mêmes coordonnées.
Vecteurs colinéaires: $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s'il existe $k \in \mathbb{R}$ tel que $\vec{v} = k\vec{u}$ (ou si $\vec{u} = \vec{0}$ ). Critère : déterminant nul.
Norme d'un vecteur: $\|\overrightarrow{AB}\| = AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$ .
Milieu d'un segment: $I$ milieu de $[AB]$ : $I\left(\frac{x_A + x_B}{2}\,;\frac{y_A + y_B}{2}\right)$ , ou encore $\overrightarrow{AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ .

Les erreurs à éviter en mathématiques

Inverser le sens : écrire $\overrightarrow{AB} = \binom{x_A - x_B}{y_A - y_B}$ .
C'est toujours arrivée $-$ départ : $\overrightarrow{AB} = \binom{x_B - x_A}{y_B - y_A}$ .
Confondre colinéaires et égaux.
Colinéaires = même direction (parallèles, pas forcément même sens ni même norme). Égaux = mêmes coordonnées.
Se tromper dans l'ordre du parallélogramme : $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ au lieu de $\overrightarrow{DC}$ .
Pour $ABCD$ parallélogramme, il faut $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ (côtés opposés et parallèles).
Calculer le déterminant $xy' + x'y$ au lieu de $xy' - x'y$ .
Moyen mnémo : « croix en Z » = $xy' - x'y$ , le signe $-$ est essentiel.

Sais-tu répondre à ces questions ?

Les corrigés détaillés sont dans le quiz du chapitre.

Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont égaux si et seulement si :
Si $A(1\,;\,3)$ et $B(4\,;\,7)$ , quelles sont les coordonnées de $\vec{AB}$ ?
Que représente $\vec{AB} + \vec{BC}$ ?
Si $\vec{u}(2\,;\,-1)$ et $\vec{v}(-4\,;\,2)$ , alors $\vec{v}$ est égal à :
Le milieu $M$ de $[A(2\,;\,6)\,;\,B(8\,;\,2)]$ a pour coordonnées :

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