Suites arithmétiques et géométriques

Les notions à connaître

Suite arithmétique

Suite où l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre $r$, appelé raison. Relation : $u_{n+1}=u_n+r$. Exemple : $u_0=100$ et $r=5$ donnent $100$, $105$, $110$, $115$, ...

Terme général (arithmétique)

On atteint directement le terme de rang $n$ par $u_n=u_0+nr$. Exemple : avec $u_0=100$ et $r=5$, $u_{10}=100+10\times 5=150$.

Suite géométrique

Suite où l'on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre $q$, appelé raison. Relation : $u_{n+1}=u_n\times q$. Exemple : $u_0=1000$ et $q=1{,}05$ donnent $1000$, $1050$, $1102{,}5$, ...

Terme général (géométrique)

On atteint directement le terme de rang $n$ par $u_n=u_0\times q^{\,n}$. Exemple : avec $u_0=1000$ et $q=1{,}05$, $u_{3}=1000\times 1{,}05^{3}\approx 1157{,}63$.

Lien avec un taux d'évolution

Une évolution répétée au taux $t$ correspond à une suite géométrique de raison $q=1+\dfrac{t}{100}$ (le coefficient multiplicateur). Exemple : $+5\%$ chaque année donne $q=1{,}05$ ; $-8\%$ donne $q=0{,}92$.

Somme de termes consécutifs

Pour une suite arithmétique : somme $=$ (nombre de termes) $\times\dfrac{\text{premier}+\text{dernier}}{2}$. Pour une suite géométrique de raison $q\neq 1$ : $u_0+u_1+\cdots+u_n=u_0\times\dfrac{1-q^{\,n+1}}{1-q}$.

Les erreurs à éviter en mathématiques

• ✗ Écrire $u_n=u_0\times n\times q$ pour une suite géométrique.

  ✓ La raison intervient en PUISSANCE : $u_n=u_0\times q^{\,n}$, pas en produit.

• ✗ Confondre raison $q$ et taux $t$ : prendre $q=5$ pour $+5\%$.

  ✓ Le coefficient multiplicateur est $q=1+\dfrac{5}{100}=1{,}05$, pas $5$.

• ✗ Compter $u_{10}$ comme le $10^{\text{e}}$ terme.

  ✓ Si l'on part de $u_0$, alors $u_{10}$ est le $11^{\text{e}}$ terme ; la somme $u_0+\cdots+u_n$ comporte $n+1$ termes.

• ✗ Oublier la parenthèse dans la puissance : taper $1{,}05^3$ en calculant $1{,}05^3$ correctement mais $u_0\times 1{,}05^{3}$ mal saisi.

  ✓ Saisir $1000\times 1{,}05\,\hat{}\,3$ sur la calculatrice, jamais $(1000\times 1{,}05)^3$.

Sais-tu répondre à ces questions ?

Les corrigés détaillés sont dans le quiz du chapitre.

1. Une suite arithmétique vérifie $u_0=7$ et de raison $r=3$. Que vaut $u_1$ ?
2. Une suite géométrique vérifie $u_0=200$ et de raison $q=2$. Que vaut $u_3$ ?
3. Un placement augmente de $4\%$ chaque année. Quel est le coefficient multiplicateur, c'est-à-dire la raison $q$ de la suite géométrique modélisant le capital ?
4. Pour une suite arithmétique, on a $u_0=50$ et $r=-6$. Que vaut $u_4$ ?
5. Une population décroît chaque année selon une suite géométrique de raison $q=0{,}9$. Sans calculer de limite, quel est son comportement quand $n$ devient grand ?