Fonction inverse

Les notions à connaître

Fonction inverse

C'est la fonction $f(x)=\dfrac{1}{x}$, définie pour tout $x\neq 0$ (on ne divise jamais par zéro). Exemple : $f(2)=\dfrac{1}{2}=0{,}5$ et $f(0{,}5)=\dfrac{1}{0{,}5}=2$.

Domaine de définition

L'ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles le calcul est possible. Pour $\dfrac{1}{x}$ il faut $x\neq 0$, donc le domaine est $]-\infty\,;0[\cup]0\,;+\infty[$. Exemple : $\dfrac{1}{x-3}$ est définie pour $x\neq 3$.

Hyperbole

Nom de la courbe représentant $f(x)=\dfrac{1}{x}$. Elle est formée de deux branches séparées, jamais reliées, qui s'approchent des axes sans les toucher. Exemple : quand $x$ devient très grand, $\dfrac{1}{x}$ se rapproche de $0$.

Sens de variation

La fonction inverse est décroissante sur $]-\infty\,;0[$ et décroissante sur $]0\,;+\infty[$, mais PAS sur $\mathbb{R}$ entier. Exemple : sur les positifs, si $x$ augmente de $2$ à $4$, alors $\dfrac{1}{x}$ diminue de $0{,}5$ à $0{,}25$.

Fonction homographique

Une fonction de la forme $f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ (avec $c\neq 0$). Sa courbe est aussi une hyperbole. Exemple : le coût moyen $C(x)=\dfrac{5x+200}{x}$ est homographique.

Coût moyen unitaire

Le coût de production d'une seule unité : $C_M(x)=\dfrac{\text{coût total}}{x}$ où $x$ est la quantité produite. Exemple : produire $x$ objets coûte $C(x)$ euros, donc chaque objet revient à $\dfrac{C(x)}{x}$ euros.

Les erreurs à éviter en mathématiques

• ✗ Dire que $\dfrac{1}{x}$ est décroissante sur $\mathbb{R}$ tout entier.

  ✓ Elle est décroissante sur $]-\infty\,;0[$ ET sur $]0\,;+\infty[$ séparément, mais on ne peut pas comparer une valeur négative et une valeur positive : par exemple $f(-1)=-1$ est plus petit que $f(1)=1$.

• ✗ Oublier d'exclure la valeur interdite du domaine (ex : garder $x=0$).

  ✓ Toujours vérifier le dénominateur : $\dfrac{1}{x}$ exige $x\neq 0$ et $\dfrac{1}{x-3}$ exige $x\neq 3$.

• ✗ Croire que $\dfrac{1}{x}$ peut valoir $0$.

  ✓ Une fraction de numérateur $1$ n'est jamais nulle : $\dfrac{1}{x}$ se rapproche de $0$ quand $x$ devient grand, mais ne l'atteint jamais.

• ✗ Écrire $f'(x)=-\dfrac{1}{x}$ au lieu de $-\dfrac{1}{x^2}$.

  ✓ La dérivée de $\dfrac{1}{x}$ est $-\dfrac{1}{x^2}$ : le dénominateur est bien au carré.

Sais-tu répondre à ces questions ?

Les corrigés détaillés sont dans le quiz du chapitre.

1. Quelle est l'image de $4$ par la fonction inverse $f(x)=\dfrac{1}{x}$ ?
2. Pour quelle valeur de $x$ la fonction $f(x)=\dfrac{1}{x}$ n'est-elle PAS définie ?
3. Sur l'intervalle $]0\,;+\infty[$, la fonction $f(x)=\dfrac{1}{x}$ est :
4. Quel est le nom de la courbe qui représente la fonction inverse ?
5. On résout $\dfrac{1}{x}=0{,}2$. Quelle est la solution ?