Variables aléatoires discrètes et loi binomiale

Les notions à connaître

Variable aléatoire discrète

Fonction qui associe à chaque issue d'une expérience aléatoire un nombre réel, parmi un nombre fini de valeurs $x_1,x_2,\dots,x_n$. Exemple : $X$ = gain à un jeu, avec valeurs possibles $-5$, $0$ et $10$ euros.

Loi de probabilité

Tableau qui donne, pour chaque valeur $x_i$, la probabilité $p_i=P(X=x_i)$. La somme de toutes les probabilités vaut toujours $1$ : $\sum p_i=1$. C'est la première vérification à faire.

Espérance $E(X)$

Moyenne des valeurs pondérée par leurs probabilités : $E(X)=\sum x_i\,p_i=x_1p_1+x_2p_2+\dots$ Elle s'interprète comme le gain moyen par partie sur un très grand nombre de répétitions. Exemple : un jeu est équitable si $E(X)=0$.

Variance et écart-type

La variance $V(X)=\sum x_i^2\,p_i-\left(E(X)\right)^2$ mesure la dispersion autour de la moyenne. L'écart-type $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$ s'exprime dans la même unité que $X$ : plus il est grand, plus les résultats sont dispersés (risque élevé).

Schéma de Bernoulli

Épreuve à deux issues seulement : succès (probabilité $p$) ou échec (probabilité $1-p$). Exemple : une pièce prélevée est défectueuse ($p$) ou conforme ($1-p$). C'est la brique de base de la loi binomiale.

Loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;p)$

On répète $n$ fois, de façon identique et indépendante, une même épreuve de Bernoulli de paramètre $p$. La variable $X$ = nombre de succès suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;p)$ et $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$.

Les erreurs à éviter en mathématiques

• ✗ Oublier de vérifier que $\sum p_i=1$.

  ✓ Avant tout calcul, additionner toutes les probabilités du tableau : le total doit valoir exactement $1$, sinon la loi est fausse.

• ✗ Écrire $V(X)=\sum x_i\,p_i-\left(E(X)\right)^2$ (oubli du carré sur $x_i$).

  ✓ Dans la variance, on pondère les CARRÉS : $V(X)=\sum x_i^2\,p_i-\left(E(X)\right)^2$.

• ✗ Confondre $p^k(1-p)^{n-k}$ avec $p^k(1-p)^{k}$.

  ✓ L'exposant de l'échec est $n-k$ (les épreuves restantes) : $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$.

• ✗ Utiliser la loi binomiale quand les épreuves ne sont pas identiques ou indépendantes.

  ✓ La loi $\mathcal{B}(n\,;p)$ exige $n$ répétitions IDENTIQUES et INDÉPENDANTES d'une même épreuve à deux issues, avec un $p$ constant.

Sais-tu répondre à ces questions ?

Les corrigés détaillés sont dans le quiz du chapitre.

1. Dans la loi de probabilité d'une variable aléatoire $X$, que vaut toujours la somme de toutes les probabilités $\sum p_i$ ?
2. Une variable aléatoire $X$ prend les valeurs $2$, $5$ et $10$ avec les probabilités $0{,}5$, $0{,}3$ et $0{,}2$. Quelle est son espérance $E(X)$ ?
3. Comment obtient-on l'écart-type $\sigma(X)$ à partir de la variance $V(X)$ ?
4. Quelle situation correspond à un schéma de Bernoulli ?
5. Une variable aléatoire suit la loi binomiale $\mathcal{B}(20\,;0{,}1)$. Que vaut son espérance $E(X)$ ?