Probabilités conditionnelles

Les notions à connaître

Probabilité conditionnelle

$P_A(B)$ est la probabilité que $B$ se réalise sachant que $A$ est réalisé : $P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ (avec $P(A)\neq 0$). Exemple : sur $500$ clients, $300$ sont des femmes et $210$ sont des femmes satisfaites, donc $P_F(S)=\dfrac{210}{300}=0{,}7$.

Événement contraire et intersection

L'événement contraire de $A$ est noté $\overline{A}$ et $P(\overline{A})=1-P(A)$. L'intersection $A\cap B$ est l'événement « $A$ et $B$ réalisés en même temps ». Exemple : si $P(A)=0{,}6$ alors $P(\overline{A})=0{,}4$.

Arbre pondéré

Diagramme où chaque branche porte une probabilité. Règle : la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut $1$. Un chemin (suite de branches) donne l'intersection : on multiplie les probabilités le long du chemin. Exemple : $P(A\cap D)=P(A)\times P_A(D)$.

Formule des probabilités totales

Si $A$ et $\overline{A}$ partitionnent l'univers, alors $P(B)=P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B)=P(A)\times P_A(B)+P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(B)$. On additionne les probabilités de tous les chemins menant à $B$.

Tableau croisé d'effectifs

Tableau à double entrée qui répartit une population selon deux caractères. Chaque probabilité s'obtient en divisant un effectif par le total. Exemple : $P(A\cap B)=\dfrac{\text{effectif de la case}}{\text{effectif total}}$.

Indépendance

$A$ et $B$ sont indépendants lorsque $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$. Cela équivaut à $P_A(B)=P(B)$ : savoir que $A$ est réalisé ne change pas la probabilité de $B$. Exemple : $P(A)=0{,}3$, $P(B)=0{,}5$ et $P(A\cap B)=0{,}15$ donnent l'indépendance car $0{,}3\times 0{,}5=0{,}15$.

Les erreurs à éviter en mathématiques

• ✗ Confondre $P_A(B)$ et $P(A\cap B)$.

  ✓ $P(A\cap B)$ est calculée sur toute la population ; $P_A(B)$ ne considère que la partie où $A$ est réalisé. On a $P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$, donc $P_A(B)\ge P(A\cap B)$.

• ✗ Croire que $P_A(B)=P_B(A)$.

  ✓ Ces deux quantités ont des dénominateurs différents ($P(A)$ contre $P(B)$) et sont en général distinctes. Par exemple $P_F(S)=0{,}7$ mais $P_S(F)\approx 0{,}636$.

• ✗ Additionner les probabilités le long d'un chemin.

  ✓ Sur un chemin d'arbre, on MULTIPLIE les probabilités. On additionne seulement les chemins DIFFÉRENTS qui mènent au même événement (probabilités totales).

• ✗ Confondre événements incompatibles et indépendants.

  ✓ Incompatibles signifie $P(A\cap B)=0$ (ils ne peuvent pas arriver ensemble). Indépendants signifie $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$. Ce sont deux notions différentes.

Sais-tu répondre à ces questions ?

Les corrigés détaillés sont dans le quiz du chapitre.

1. On donne $P(A)=0{,}5$ et $P(A\cap B)=0{,}2$. Que vaut $P_A(B)$ ?
2. On donne $P(A)=0{,}4$ et $P_A(B)=0{,}3$. Que vaut $P(A\cap B)$ ?
3. Sur un arbre pondéré, une branche partant d'un nœud porte la probabilité $0{,}7$. Ce nœud n'a que deux branches. Quelle est la probabilité de l'autre branche ?
4. Une enquête porte sur $200$ clients. Parmi eux, $80$ sont des jeunes et $60$ de ces jeunes ont acheté le produit. Quelle est la probabilité qu'un client ait acheté sachant qu'il est jeune ?
5. Une usine a deux machines. La machine $A$ fabrique $60\%$ des pièces avec $2\%$ de défauts, la machine $B$ fabrique $40\%$ des pièces avec $5\%$ de défauts. Quelle est la probabilité qu'une pièce prise au hasard soit défectueuse ?